Question

设等比数列｛an｝公比为q，前n项和Sn>0（n＝1，2，3…）(1)求q的取值范围？

(-1,0)并(0,+无穷)

Answer 1

Sn=a1(1-q^n)/1-q
由于Sn>0,所以a1>0
则(1-q^n)/1-q>0恒成立
当q>1时,1-q^n<0恒成立
即q^n>1恒成立
又q>1,所以这显然成立
当q=1时,只要a1>0,Sn>0就一定成立
当q<1时
1-q^n>0必须恒成立
当0<q<1时,1-q^n>0恒成立
当-1<q<0时,1-q^n>0也恒成立
当q<-1时,当n为偶数时
1-q^n>0不成立
当q=-1时,显然1-q^n>0也不可能恒成立
所以q的取值范围为(-1,0)并(0,+无穷)

Answer 2

a(n) = aq^(n-1),
a = a(1) = S(1) > 0,

q = 1时，S(n) = na > 0.满足要求。

q不等于1时，
S(n) = a[q^n-1]/(q-1).
q>1时，q^n-1>0,q-1>0, S(n) = a[q^n-1]/(q-1) >0. 满足要求。
-1<q<1时，q^n - 1 < 0, q - 1 < 0, 满足要求。
q = -1时，S(2m) = a[(-1)^(2m) - 1]/(-1-1) = 0,不满足要求。
q < -1时，S(2m) = a[q^(2m) - 1]/(q-1) = a[(q^2)^m - 1]/(q-1),
(q^2)^m - 1 > 0, q - 1 < 0, S(2m) < 0, 不满足要求。

因此，
q的取值范围为-1到0并0到1并1到正无穷