Question

设P,Q∈正实数,且P³+Q³=2,求证:P+Q小于或等于2

设P,Q∈正实数,且P³+Q³=2,求证:P+Q小于或等于2
P^3+Q^3=2,！！！是立方

Answer 1

一个缺乏创意的证明：
首先：P，Q不可能全大于1，否则P³+Q³=2不成立；
其次：P，Q不可能全小于1，否则P³+Q³=2不成立；所以PQ只能一个大于1，一个小于1.不失一般性，
设1>s>0,1>t>0使得p=1+s,Q=1-t.则：
P³+Q³=1+3*s^2+3*s+s^3+1+3*t^2-3*t-t^3=2
s-t=t^3-s^3-3*t^2-3*s^2=t^2(t-3)-s^2(s+3)
t显然小于3，（否则P³+Q³=2不成立）上式为一个负数，所以P+Q=1+s+1-t=2+(s-t)小于2.

Answer 2

P²+Q²-2PQ＝2-2PQ＝（P-Q）²≥0.∴PQ≤1

（P+Q）²＝P²+Q²+2PQ＝2+2PQ≤2+2＝4.

P+Q≤2