Question

有一道线性代数的例题，完全看不懂，请教

已知一个列向量
|1|
a1=|1|
|1|
求一组非零向量a2,a3，使a1,a2,a3两两正交。
解：a2,a3应该满足方程a1^x=0 (式中a1^表示a1的转置)
那么x1+x2+x3=0,
它的基础解系为
|1 | |0 |
$1=|0 | $2=|1 |
|-1| |-1|
把基础解析正交化，即合所求，亦即取
a2=$1 , a3=$2-([$1,$2]/[$1,$1])$1,
其中，[$1,$2]=1,[$1,$1]=2,于是得
|1 | |0 | |1 | |-1|
a2=|0 | a3=|1 |-0.5*|0 |=0.5*|2 |
|-1| |-1| |-1| |-1|

哎呀，终于打完了，没有公式编辑器，就这样不知道大家能不能看懂，那些三行的竖线表示矩阵的那个大括号，a1^表示a1的转置，*表示乘号，/表示除号。这是同济四版第117页的例3，这也是书上的解题步骤，关于这个解题过程我是一点也没看明白，从第一行开始
a2,a3应该满足方程a1^x=0 为什么？根据哪个公式？
x1+x2+x3=0 x1，x2，x3分别指什么？这个式子怎么来的？
根据这一个方程怎么求出的基础解系，前面求基础解系的题我会做，这个却一点也没看懂，既然求出基础解系了为什么还要正交化？
前面的概念公式我都看遍了还是不明白这个解题过程，希望大家详细的讲解一下，非常感谢，谢谢，谢谢！
谢谢大家，我知道是什么意思了，只是还有一点不太明白，就是在a1^x=0中，x既然代表的是a2,a3两个列向量，那么 是不是应该
|x11,x12|
x=|x21,x22|
|x31,x32|
所以对应两个方程x11+x21+x31=0，x12+x22+x32=0
可是为什么书上写的那个过程只有一个x1+x2+x3=0呢？？

Answer 1

1、根据正交的定义，a1^x=0，要使两两正交，所以，a1^a2、a1^a3=0
2、x1+x2+x3=0 x1，x2，x3分别指什么？这个式子怎么来的？
这个是代入a1^x=0，a1^=（1，1，1）
3、因为要两两正交，所以要把a2,a3正交化！

这是个人的理解，刚看线性代数不久，答得不对或者不好不要介意。

Answer 2

一楼回答正确，两两正交的向量内积等于0.a1^a2=0,a1^a3=0
所以a2,a3应该满足方程a1^x=0 。设x=(x1,x2,x3)^
x1+x2+x3=0的解法
x1=x1
x2=x2
x3=-x1-x2
解出的 基础解系在正交化即可。

Answer 3

两个向量正交，则必有其内积为0
即向量（a1,b1,c1），（a2,b2,c2)正交，则
a1a2+b1b2+c1c2=0
所以即上为（x1,x2,x3)
与a1正交，则a^x=0
即1*x1+1*x2+1*x3=0

解出来的两个解只是都与a1正交，
但是他自身的两个解却不一定正交，所以需要正交

Answer 4

1、a2,a3都与a1正交，所以a2,a3都满足方程组a1^x＝0(这是向量正交的定义，你看遍了概念公式，应该知道吧)
求出方程组的基础解系ξ1，ξ2作为a2和a3

2、此时a2，a3与a1都正交，但是a2与a3不一定正交，所以再正交化一下，使得a2与a3也正交

说明：实际上例题的做法还是麻烦了些，完全可以选择基础解系，使得ξ1与ξ2正交，比如ξ1＝(1,0,-1)，ξ2＝(1,-2,1)，所以
a2＝(1,0,-1)，a3＝(1,-2,1)满足要求

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补充：
|x11,x12|
x=|x21,x22|
|x31,x32|

没有必要，因为两个方程组x11+x21+x31=0，x12+x22+x32=0不是一回事吗？不都是一个三维向量的元素满足x1+x2+x3＝0吗？

Answer 5

两个向量正交，则必有其内积为0
即向量（a1,b1,c1），（a2,b2,c2)正交，则
a1a2+b1b2+c1c2=0
所以即上面的情况
他假设列向量x，为（x1,x2,x3)
与a1正交，则a^x=0
即1*x1+1*x2+1*x3=0

解出来的两个解只是都与a1正交，
但是他自身的两个解却不一定正交，所以需要正交化

PS：
你的x11+x21+x31=0，x12+x22+x32=0的解
和x1+x2+x3=0的解是一样的，两种提法都没错。
x1+x2+x3=0是总体考虑，与（1,1,1）正交的向量设为（x1,x2,x3)
重要满足x1+x2+x3=0，就与（1,1,1）正交。
而x1+x2+x3=0 系数矩阵（1，1，1），秩为1，
则由线性方程组的解与系数行列式秩的关系，有3-1=2个解

而x11+x21+x31=0，x12+x22+x32=0，则是就直接设这两个解。
然后解。其实就是设有两个向量与（1，1，1）正交，带入
x1+x2+x3=0中，（x1,x2,x3）在这里可是变量哦