Question

已知数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Sn/n)在直线y=1/2x+11/2上,数列{bn}满足

已知数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Sn/n)在直线y=1/2x+11/2上,数列{bn}满足b(n+2)-2b(n+1)+bn=0,(n∈N*),且b3=11,前9项和为153
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式
（2）设cn=3/（2an-11)(2bn-1),数列{cn}的前n项和为Tn，求使不等式Tn>k/57对一切n∈N*都成立的最大正整数k的值

过程详细点

Answer 1

(1) 由点(n,Sn/n)在直线y=1/2x+11/2上得：
Sn/n=1/2n+11/2 即：2Sn=n^2+11n 因此:2Sn-1=(n-1)^2+11(n-1)
两式相减得： 2[Sn-(Sn-1)]=2an=n^2+11n -[(n-1)^2+11(n-1)]
整理得: an=n+5
又：b(n+2)-2b(n+1)+bn=0,(n∈N*)
则：b(n+2)-b(n+1)=b(n+1)-bn那么bn为一个等差数列。
设bn=c×n+d
则：b3=3c+d=11
S9=(b1+b9)*9/2=(c+d+9c+d)*9/2=153
解得：
c=3 d=2
所以bn=3n+2

(2) cn=3/（2an-11)(2bn-1)=3/(2n+10-11)(2*(3n+2)-1)=3/(2n-1)(6n+3)
=1/(2n-1)(2n+1)=1/2×[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
所以Tn=c1+c2+...+cn
=1/2*[ 1/1-1/3+1/3-1/5+1/5-1/7+...+1/(2n-1)-1/(2n+1)]
=1/2*[1/1-1/(2n+1)]
=n/(2n+1)
令 Tn=n/(2n+1)>k/57
要使得对一切n∈N*都成立，那么必然不等号右边的数小于等于左边的最小值即可。
而对一切n∈N*
Tn=n/(2n+1)=1/2*[1-1/(2n+1)]>＝T1=1/3
所以令k/57<1/3 k<19
所以最大正整数k＝18（注意k=19时不符合)

Answer 2

解:（1)已知点(n,Sn/n)在直线y=1/2x+11/2上
∴Sn/n=(1/2）n+11/2
∴Sn=(1/2)n²+(11/2)①
∴S(n-1)=(1/2)(n-1)²+(11/2)(n-1)②
①-②得：
an=n+5

∵ b(n+2)-2b(n+1)+bn=0,(n∈N*),
∴b(n+2)+bn=2b(n+1)(等比中项公式）
∴bn是等差数列
bn=b1+(n-1)d(等差数列公式,1为首项，d为公差)
b3=b1+2d=11
∵Sn=(b1+bn)n/2
=(b1+b1+（n-1)d)n/2
n=9
∴前9项和:S9=9b1+36d=135①
∵b3=b1+2d=11②
联合①②得bn=3n+2

第（2）答，楼上答案很好

刚刚在百度答问题，答得不好不要见怪哦

Answer 3

解：(1)∵由点(n,Sn/n)在直线y=1/2x+11/2上得：Sn/n=1/2n+11/2即2Sn=n^2+11n∴2Sn-1=(n-1)^2+11(n-1)
两式相减得2[Sn-(Sn-1)]=2an=n^2+11n-[(n-1)^2+11(n-1)]
整理得an=n+5
又∵b(n+2)-2b(n+1)+bn=0,(n∈N*)
则b(n+2)-b(n+1)=b(n+1)-bn那么bn为一个等差数列。
设bn=c×n+d
则：b3=3c+d=11
S9=(b1+b9)*9/2=(c+d+9c+d)*9/2=153
∴解得：c=3d=2
∴bn=3n+2
(2)∵cn=3/（2an-11)(2bn-1)=3/(2n+10-11)(2*(3n+2)-1)=3/(2n-1)(6n+3)=1/(2n-1)(2n+1)=1/2×[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
∴Tn=c1+c2+...+cn=1/2*[1/1-1/3+1/3-1/5+1/5-1/7+...+1/(2n-1)-1/(2n+1)]=1/2*[1/1-1/(2n+1)]=n/(2n+1)
令Tn=n/(2n+1)>k/57
要使得对一切n∈N*都成立，那么必然不等号右边的数小于等于左边的最小值即可。而对一切n∈N*
Tn=n/(2n+1)=1/2*[1-1/(2n+1)]>＝T1=1/3
∴令k/57<1/3k<19
∴最大正整数k＝18（注意k=19时不符合)
（3）分情况讨论，
已知F(n)={An（n2L-1，L∈N*),Bn(n=2L,L∈N*)}
1当m为奇数时，m+15为偶数
此时F(m+15)=3(m+15)+2即5F（m)=5(m+5)
∴3（m+15)+2=5(m+5)解得m=11
2当m为偶数时，m+15为奇数
此时F(m+15)=m+15+5即5F(m)=5(3m+2)
∴m+20=15m+10
∴m=5/7∵不∈N*∴舍
∴综上m=11.