Question

已知数列{an}中,a1=-1,a(n+1)*an=a(n+1)-an(n属于正整数),求数列通项an

已知数列{an}中,a1=-1,a(n+1)*an=a(n+1)-an(n属于正整数),求数列通项an.
提示：用构造辅助数列法
注:a1、a(n+1)、an中的1、n+1、n都为下脚标

谢谢帮忙解~

Answer 1

an=-1/n
用数学归纳法
由a1=-1,a(n+1)*an=a(n+1)-an(n属于正整数)可得a(n+1)=an/（1-an）
所以算得a2=-1/2 A3=-1/3 A4=-1/4
由此猜的an=-1/n

证明
①当n=1时，此式显然成立
②假设k=n时，此式成立
当k=n+1时 因为a(n+1)*an=a(n+1)-an(n属于正整数)可得
a(n+1)=an/（1-an）
因为an=-1/n
所以带入化简得到a（n+1）=-1/（n+1）
综上所述，an=-1/n此式成立

步骤很简略，不过重要的部分都有，希望看懂