Question

高一数学 急急急～ 高手帮忙啊！！～

1) 过圆x^2+y^2=4上的一点（1，√3）的元的切线方程是（ ）
A x+（√3）y-4=0 B （√3）x-y=0 C x+（√3）y=0 D x-（√3）y-4=0

2）光线从点（-1，3）射向x轴，经过x轴反射后过点（4，6），则反射光线所在的直线方程一般式是（ ）

3）△ABC中，D是BC边上任意一点（D与BC不重合），且|AB|^2=|AD|^2+|BD|*|DC|,用解析法证明：△ABC为等腰三角形

4）已知方程x^2+y^2-2(m+3)x+2(1-4m^2)y+16m^4+9=0表示一个圆，
（1）求实数m的取值范围；（2）求该圆半径r的取值范围；（3）求圆心的轨迹方程。

5）△ABC中，已知a=4，∠B=45°，若解此三角形时有且只有唯一解，则b的值应满足（ ）

6）已知点P（x，y）在经过两点A（3，0） B(1,1)的直线上，那么2^x+4^y的最小值是（ ）

7）过点P（2，1）且被圆C：x^2+y^2-2x+4y=0截得弦长最长的直线1的方程是（ ）
A 3x-y-5=0 B 3x+y-7=0 C x-3y+5=0 D x+3y-5=0

8）直角三角形ABC的斜边在平面α内，两条直角边分别与平面α成45°和30°，则这个直角三角形所在平面与平面α所成的锐二面角为（ ）

『需要解题的说明啊，要不然实在看不懂～』
....额～第8题确实没图啊，不是我没放上去啊！！！～帮忙想想啦！！～

Answer 1

1) 过圆x^2+y^2=4上的一点（1，√3）的元的切线方程是（A）
A x+（√3）y-4=0 B （√3）x-y=0 C x+（√3）y=0 D x-（√3）y-4=0

B C肯定是错的, 因为切线不可能过圆心

D是错的 因为它根本不过（1，√3）...

这题根据斜率乘积-1来做就可以了.

2）光线从点（-1，3）射向x轴，经过x轴反射后过点（4，6），则反射光线所在的直线方程一般式是（x+y=3）

做对称 (-1,-3)

连起来 (x-(-1))/(-1+3)=(y-4)(4-6)

x=3-y

3）△ABC中，D是BC边上任意一点（D与BC不重合），且|AB|^2=|AD|^2+|BD|*|DC|,用解析法证明：△ABC为等腰三角形

B原点 BC=x轴 A(a,b) C(c,0) B(0,0) D(d,0) c>d

|AB|^2=a^2+b^2

|AD|^2=a^2+b^2+d^2-2ad

|BD|*|DC|=d(c-d)

a^2+b^2=a^2+b^2+d^2-2ad+dc-d^2

2ad=cd

2a=c

然后就能推出来|AB|=|AC|.

= =!

4）已知方程x^2+y^2-2(m+3)x+2(1-4m^2)y+16m^4+9=0表示一个圆，
（1）求实数m的取值范围；（2）求该圆半径r的取值范围；（3）求圆心的轨迹方程。

x^2+y^2-2(m+3)x+2(1-4m^2)y+16m^4+9=0

(x+m+3)^2+(y+1-4m^2)^2-(m+3)^2-(1-4m^2)^2+16m^4+9=0

-(m+3)^2-(1-4m^2)^2+16m^4+9<0,

-m^2-6m-9-16m^4+8m^2-1+16m^4+9<0

7m^2-6m-1<0

(7m+1)(m-1)<0

-1/7<m<1

5）△ABC中，已知a=4，∠B=45°，若解此三角形时有且只有唯一解，则b的值应满足（ b>=4 ）

自己画个图.

能看出来

6）已知点P（x，y）在经过两点A（3，0） B(1,1)的直线上，那么2^x+4^y的最小值是（ 8 ）

y=-1/2 x + 3/2

2^x+2^(-x+3)

= 2^x+8*2^(-x)

>= 8

7）过点P（2，1）且被圆C：x^2+y^2-2x+4y=0截得弦长最长的直线1的方程是（A）
A 3x-y-5=0 B 3x+y-7=0 C x-3y+5=0 D x+3y-5=0

圆心(1,-2)

连直径

(2,1) (1,-2)

8）直角三角形ABC的斜边在平面α内，两条直角边分别与平面α成45°和30°，则这个直角三角形所在平面与平面α所成的锐二面角为（ ）

= =

好像是

arcsin((根号10)/4)

不知道对不对
1.点（1，√3）就在圆上，所以所求切线垂直于点（1，√3）与原点的连线，这知道吧，圆的切线与过这个切点的半径垂直嘛。而这条半径的斜率是√3，
所以所求切线斜率是-1/√3，它还过点（1，√3），一求得出A

2.做（-1，3）关于x轴的对称点(-1,-3)，再连结点(-1,-3)和点（4，6）得出直线x=3-y就是所求的直线了，因为反射光线的延长线与发射光线关于反射面对称

3.以B为原点，BC为x轴建立平面直角坐标系。
由题意得： A(a,b) C(c,0) B(0,0) D(d,0)
就有|AB|^2=a^2+b^2
|AD|^2=a^2+b^2+d^2-2ad
|BD|*|DC|=d(c-d)
因为|AB|^2=|AD|^2+|BD|*|DC|
所以a^2+b^2=a^2+b^2+d^2-2ad+dc-d^2
化简得：2a=c
所以|AB|^2=a^2+b^2=(c-a)^2+b^2=|AC|^2

4.（1）
整理原方程得：
(x+m+3)^2+(y+1-4m^2)^2=(m+3)^2+(1-4m^2)^2-16m^4-9
因为圆的半径大于0，半径的平方大于0
所以(m+3)^2+(1-4m^2)^2-16m^4-9>0
化简得：7m^2-6m-1<0
解得：-1/7<m<1
（2）
由第一问得：r^2=-7m^2+6m+1，
整理得：r^2=-7(m-3/7)^2+16/7
所以 r^2大于0，小于等于16/7
所以 r大于0，小于等于(4×7^0.5/7)
(3)
由第一问得：圆心为（-m-3，4m^2-1)
设圆心为（x，y）
有：x=-m-3
y=4m^2-1
消m得：y=4(x+3)^2-1 这所求的轨迹方程。

5.当AC与BC垂直时，此三角形有唯一解，此时b=4

1) 过圆x^2+y^2=4上的一点（1，√3）的元的切线方程是（A）
A x+（√3）y-4=0 B （√3）x-y=0 C x+（√3）y=0 D x-（√3）y-4=0
解：圆心O(0,0),A（1，√3）,OA斜率为(√3-0)/(1-0)=√3
切线斜率为-1/√3=-(√3)/3
切线方程为 y-√3=[-(√3)/3]*(x-1)
即 x+(√3)y-4=0 故选（A）

2）光线从点（-1，3）射向x轴，经过x轴反射后过点（4，6），则反射光线所在的直线方程一般式是（9x-5y-6=0）
解：P（-1，3）,Q（4，6）
做P（-1，3）关于x轴的对称点 P'(-1,-3)
连接P'Q
P'Q即为反射光线所在的直线
(y-6)/(x-4)=(-3-6)/(-1-4)
9(x-4)=5(y-6)
9x-5y-6=0

3）△ABC中，D是BC边上任意一点（D与BC不重合），且|AB|^2=|AD|^2+|BD|*|DC|,用解析法证明：△ABC为等腰三角形
证明：以B为原点，BC为x轴正方向建立直角坐标系
设A(a,b)，B(0,0)，C(c,0) D(d,0) (b不为0,0<d<c)
|AB|^2=a^2+b^2
|AD|^2=（a-d）^2+b^2=a^2+b^2+d^2-2ad
|BD|*|DC|=|d|*|c-d|=d(c-d)
|AB|^2=|AD|^2+|BD|*|DC|
所以 a^2+b^2=a^2+b^2+d^2-2ad+cd-d^2
2ad=cd
2a=c
所以 |AC|^2=（a-c）^2+b^2=a^2+b^2+c^2-2ac=a^2+b^2+c(c-2a)=a^2+b^2=|AB|^2
所以 |AB|=|AC|.
所以△ABC为等腰三角形

4）已知方程x^2+y^2-2(m+3)x+2(1-4m^2)y+16m^4+9=0表示一个圆，
（1）求实数m的取值范围；（2）求该圆半径r的取值范围；（3）求圆心的轨迹方程。
解：（1）x^2+y^2-2(m+3)x+2(1-4m^2)y+16m^4+9=0
(x+m+3)^2+(y+1-4m^2)^2-(m+3)^2-(1-4m^2)^2+16m^4+9=0
(x+m+3)^2+(y+1-4m^2)^2=(m+3)^2+(1-4m^2)^2-16m^4-9
所以 (m+3)^2+(1-4m^2)^2-16m^4-9>0
m^2+6m+9+16m^4-8m^2+1-16m^4-9>0
m^2+6m-8m^2+1>0
-7m^2+6m+1>0
(7m+1)(m-1)<0
-1/7<m<1
（2）r^2=-7m^2+6m+1 (-1/7<m<1)
-7m^2+6m+1 的最大值为 [4*(-7)*1-6^2]/[4*(-7)]=16/7 (m=3/7时取到)
所以-1/7<m<1时 0<-7m^2+6m+1<=16/7
所以 0<r^2<=16/7
所以 0<r<=(4/7)√7
（3）设圆心P(x,y)
x=-m-3 ①
y=4m^2-1 ②
由①得 m=-x-3 代入②
得 y=4(-x-3)^2-1=4(x+3)^2-1
-1/7<m<1,所以 -1/7<-x-3<1 ，-4<x<-20/7
所以圆心的轨迹方程为 y=4(x+3)^2-1（-4<x<-20/7）

5）△ABC中，已知a=4，∠B=45°，若解此三角形时有且只有唯一解，则b的值应满足（ b=4 ）
解：解此三角形时有且只有唯一解，所以AC⊥BC
(因为若∠ACB不为90°，则存在∠ACB为锐角和∠ACB为钝角两种情况)
所以 b=a*tanB=4

6）已知点P（x，y）在经过两点A（3，0） B(1,1)的直线上，那么2^x+4^y的最小值是（ 4√2 ）
解：直线AB： (y-0)/(x-3)=(1-0)/(1-3)
x+2y-3=0
x=3-2y
2^x+4^y=2^(3-2y)+4^y=8*2^(-2y)+4^y
=8*4^(-y)+4^y>=2√{[8*4^(-y)]*(4^y)}=2√8=4√2
(当且仅当8*4^(-y)=4^y 即 8=4^(2y) 即 2^3=2^(4y) 即 3=4y 即y=3/4时取等)

7）过点P（2，1）且被圆C：x^2+y^2-2x+4y=0截得弦长最长的直线1的方程是（A）
A 3x-y-5=0 B 3x+y-7=0 C x-3y+5=0 D x+3y-5=0
解：圆心M(1,-2)
MP即为所求直线
(y-1)/(x-2)=(-2-1)/(1-2)
-3(x-2)=-(y-1)
3x-y-5=0
故选（A）

8）直角三角形ABC的斜边在平面α内，两条直角边分别与平面α成45°和30°，则这个直角三角形所在平面与平面α所成的锐二面角为（ 60° ）
解：为方便说明，我先把题目里的对应关系明确一下，看我下面的题目。没改题，只是标明对应关系。
题：直角三角形ABC的斜边BC在平面α内，两条直角边AB，AC分别与平面α成45°和30°，则这个直角三角形所在平面与平面α所成的锐二面角为（ 60° ）
解：作AO垂直平面α于O，连接OB，OC。过O做OE垂直BC，连接AE。
因为 AO⊥平面α,BC在平面α内,所以AO⊥BC
又OE⊥BC，所以BC⊥面AOE,所以BC⊥AE
所以∠AEO即为所求锐二面角
设AO=1，
在RT△AOB中，OB=AO*cot∠ABO=1*cot45°=1 ，
AB=AO/sin∠ABO=1/sin45°=√2
在RT△AOC中，OC=AO*cot∠ACO=1*cot30°=√3 ，
AC=AO/sin∠ACO=1/sin30°=2
在RT△ABC中，BC^2=AB^2+AC^2=(√2)^2+2^2=6,所以BC=√6
在△OBC中，由余弦定理，OC^2=OB^2+BC^2-2*OB*BC*cos∠OBC
所以 3=1+6-2*1*√6*cos∠OBC
所以 cos∠OBC=(√6)/3
所以 sin∠OBC=√[1-(cos∠OBC)^2]=(√3)/3
在RT△OBE中，OE=OB*sin∠OBC=1*(√3)/3=(√3)/3
因为AO⊥平面α，OE在平面α内，所以AO⊥OE
在RT△AOE中，tan∠AEO=AO/OE=1/[(√3)/3]=√3
所以 ∠AEO=60°
这个直角三角形所在平面与平面α所成的锐二面角为 60°
正确答案是这样的：
1) 过圆x^2+y^2=4上一点（1，√3）的切线方程是(A)
方法：过圆x^2+y^2=R^2上一点（a,b）的切线方程是:ax+by=R^2.(证明从略)

2）光线从点（-1，3）射向x轴，经过x轴反射后过点（4，6），则反射光线所在的直线方程一般式是（9x-5y-6=0）
方法：经x轴反射的反射光线的反向延长线经过光线出发点（-1，3）关于x轴的对称点（-1，-3).

3）△ABC中，D是BC边上任意一点（D与BC不重合），且|AB|^2=|AD|^2+|BD|*|DC|,用解析法证明：△ABC为等腰三角形
证明：设A、B、C、D四点坐标分别为A(a,b)、B(0,0)、C(c,0)、D(d,0),其中c＞d＞0.由题意求得:c=2a,即A在BC的中垂线上,∴△ABC为等腰三角形.

4）已知方程x^2+y^2-2(m+3)x+2(1-4m^2)y+16m^4+9=0表示一个圆，
（1）求实数m的取值范围:将圆方程化成标准形式:(x-a)^2+(y-b)^2=R^2,令R^2＞0解之.
（2）求该圆半径r的取值范围:求R^2的极值得之.
（3）求圆心的轨迹方程:令x=a,y=b,消m得之.

5）△ABC中，已知a=4，∠B=45°，若解此三角形时有且只有唯一解，则b的值应满足（b=a=4）

6）已知点P（x，y）在经过两点A（3，0） B(1,1)的直线上，那么2^x+4^y的最小值是（ 9 ）

7）过点P（2，1）且被圆C：x^2+y^2-2x+4y=0截得弦长最长的直线1的方程是（ A ）
A 3x-y-5=0 B 3x+y-7=0 C x-3y+5=0 D x+3y-5=0

8）直角三角形ABC的斜边在平面α内，两条直角边分别与平面α成45°和30°，则这个直角三角形所在平面与平面α所成的锐二面角为（60°）

Answer 2

1) 过圆x^2+y^2=4上的一点（1，√3）的元的切线方程是（A）
A x+（√3）y-4=0 B （√3）x-y=0 C x+（√3）y=0 D x-（√3）y-4=0

B C肯定是错的, 因为切线不可能过圆心

D是错的 因为它根本不过（1，√3）...

这题根据斜率乘积-1来做就可以了.

2）光线从点（-1，3）射向x轴，经过x轴反射后过点（4，6），则反射光线所在的直线方程一般式是（x+y=3）

做对称 (-1,-3)

连起来 (x-(-1))/(-1+3)=(y-4)(4-6)

x=3-y

3）△ABC中，D是BC边上任意一点（D与BC不重合），且|AB|^2=|AD|^2+|BD|*|DC|,用解析法证明：△ABC为等腰三角形

B原点 BC=x轴 A(a,b) C(c,0) B(0,0) D(d,0) c>d

|AB|^2=a^2+b^2

|AD|^2=a^2+b^2+d^2-2ad

|BD|*|DC|=d(c-d)

a^2+b^2=a^2+b^2+d^2-2ad+dc-d^2

2ad=cd

2a=c

然后就能推出来|AB|=|AC|.

= =!

4）已知方程x^2+y^2-2(m+3)x+2(1-4m^2)y+16m^4+9=0表示一个圆，
（1）求实数m的取值范围；（2）求该圆半径r的取值范围；（3）求圆心的轨迹方程。

x^2+y^2-2(m+3)x+2(1-4m^2)y+16m^4+9=0

(x+m+3)^2+(y+1-4m^2)^2-(m+3)^2-(1-4m^2)^2+16m^4+9=0

-(m+3)^2-(1-4m^2)^2+16m^4+9<0,

-m^2-6m-9-16m^4+8m^2-1+16m^4+9<0

7m^2-6m-1<0

(7m+1)(m-1)<0

-1/7<m<1

5）△ABC中，已知a=4，∠B=45°，若解此三角形时有且只有唯一解，则b的值应满足（ b>=4 ）

自己画个图.

能看出来

6）已知点P（x，y）在经过两点A（3，0） B(1,1)的直线上，那么2^x+4^y的最小值是（ 8 ）

y=-1/2 x + 3/2

2^x+2^(-x+3)

= 2^x+8*2^(-x)

>= 8

7）过点P（2，1）且被圆C：x^2+y^2-2x+4y=0截得弦长最长的直线1的方程是（A）
A 3x-y-5=0 B 3x+y-7=0 C x-3y+5=0 D x+3y-5=0

圆心(1,-2)

连直径

(2,1) (1,-2)

8）直角三角形ABC的斜边在平面α内，两条直角边分别与平面α成45°和30°，则这个直角三角形所在平面与平面α所成的锐二面角为（ ）

= =

好像是

arcsin((根号10)/4)

不知道对不对

Answer 3

1) 过圆x^2+y^2=4上的一点（1，√3）的元的切线方程是（A）
A x+（√3）y-4=0 B （√3）x-y=0 C x+（√3）y=0 D x-（√3）y-4=0
解：圆心O(0,0),A（1，√3）,OA斜率为(√3-0)/(1-0)=√3
切线斜率为-1/√3=-(√3)/3
切线方程为 y-√3=[-(√3)/3]*(x-1)
即 x+(√3)y-4=0 故选（A）

2）光线从点（-1，3）射向x轴，经过x轴反射后过点（4，6），则反射光线所在的直线方程一般式是（9x-5y-6=0）
解：P（-1，3）,Q（4，6）
做P（-1，3）关于x轴的对称点 P'(-1,-3)
连接P'Q
P'Q即为反射光线所在的直线
(y-6)/(x-4)=(-3-6)/(-1-4)
9(x-4)=5(y-6)
9x-5y-6=0

3）△ABC中，D是BC边上任意一点（D与BC不重合），且|AB|^2=|AD|^2+|BD|*|DC|,用解析法证明：△ABC为等腰三角形
证明：以B为原点，BC为x轴正方向建立直角坐标系
设A(a,b)，B(0,0)，C(c,0) D(d,0) (b不为0,0<d<c)
|AB|^2=a^2+b^2
|AD|^2=（a-d）^2+b^2=a^2+b^2+d^2-2ad
|BD|*|DC|=|d|*|c-d|=d(c-d)
|AB|^2=|AD|^2+|BD|*|DC|
所以 a^2+b^2=a^2+b^2+d^2-2ad+cd-d^2
2ad=cd
2a=c
所以 |AC|^2=（a-c）^2+b^2=a^2+b^2+c^2-2ac=a^2+b^2+c(c-2a)=a^2+b^2=|AB|^2
所以 |AB|=|AC|.
所以△ABC为等腰三角形

4）已知方程x^2+y^2-2(m+3)x+2(1-4m^2)y+16m^4+9=0表示一个圆，
（1）求实数m的取值范围；（2）求该圆半径r的取值范围；（3）求圆心的轨迹方程。
解：（1）x^2+y^2-2(m+3)x+2(1-4m^2)y+16m^4+9=0
(x+m+3)^2+(y+1-4m^2)^2-(m+3)^2-(1-4m^2)^2+16m^4+9=0
(x+m+3)^2+(y+1-4m^2)^2=(m+3)^2+(1-4m^2)^2-16m^4-9
所以 (m+3)^2+(1-4m^2)^2-16m^4-9>0
m^2+6m+9+16m^4-8m^2+1-16m^4-9>0
m^2+6m-8m^2+1>0
-7m^2+6m+1>0
(7m+1)(m-1)<0
-1/7<m<1
（2）r^2=-7m^2+6m+1 (-1/7<m<1)
-7m^2+6m+1 的最大值为 [4*(-7)*1-6^2]/[4*(-7)]=16/7 (m=3/7时取到)
所以-1/7<m<1时 0<-7m^2+6m+1<=16/7
所以 0<r^2<=16/7
所以 0<r<=(4/7)√7
（3）设圆心P(x,y)
x=-m-3 ①
y=4m^2-1 ②
由①得 m=-x-3 代入②
得 y=4(-x-3)^2-1=4(x+3)^2-1
-1/7<m<1,所以 -1/7<-x-3<1 ，-4<x<-20/7
所以圆心的轨迹方程为 y=4(x+3)^2-1（-4<x<-20/7）

5）△ABC中，已知a=4，∠B=45°，若解此三角形时有且只有唯一解，则b的值应满足（ b=4 ）
解：解此三角形时有且只有唯一解，所以AC⊥BC
(因为若∠ACB不为90°，则存在∠ACB为锐角和∠ACB为钝角两种情况)
所以 b=a*tanB=4

6）已知点P（x，y）在经过两点A（3，0） B(1,1)的直线上，那么2^x+4^y的最小值是（ 4√2 ）
解：直线AB： (y-0)/(x-3)=(1-0)/(1-3)
x+2y-3=0
x=3-2y
2^x+4^y=2^(3-2y)+4^y=8*2^(-2y)+4^y
=8*4^(-y)+4^y>=2√{[8*4^(-y)]*(4^y)}=2√8=4√2
(当且仅当8*4^(-y)=4^y 即 8=4^(2y) 即 2^3=2^(4y) 即 3=4y 即y=3/4时取等)

7）过点P（2，1）且被圆C：x^2+y^2-2x+4y=0截得弦长最长的直线1的方程是（A）
A 3x-y-5=0 B 3x+y-7=0 C x-3y+5=0 D x+3y-5=0
解：圆心M(1,-2)
MP即为所求直线
(y-1)/(x-2)=(-2-1)/(1-2)
-3(x-2)=-(y-1)
3x-y-5=0
故选（A）

8）直角三角形ABC的斜边在平面α内，两条直角边分别与平面α成45°和30°，则这个直角三角形所在平面与平面α所成的锐二面角为（ 60° ）
解：为方便说明，我先把题目里的对应关系明确一下，看我下面的题目。没改题，只是标明对应关系。
题：直角三角形ABC的斜边BC在平面α内，两条直角边AB，AC分别与平面α成45°和30°，则这个直角三角形所在平面与平面α所成的锐二面角为（ 60° ）
解：作AO垂直平面α于O，连接OB，OC。过O做OE垂直BC，连接AE。
因为 AO⊥平面α,BC在平面α内,所以AO⊥BC
又OE⊥BC，所以BC⊥面AOE,所以BC⊥AE
所以∠AEO即为所求锐二面角
设AO=1，
在RT△AOB中，OB=AO*cot∠ABO=1*cot45°=1 ，
AB=AO/sin∠ABO=1/sin45°=√2
在RT△AOC中，OC=AO*cot∠ACO=1*cot30°=√3 ，
AC=AO/sin∠ACO=1/sin30°=2
在RT△ABC中，BC^2=AB^2+AC^2=(√2)^2+2^2=6,所以BC=√6
在△OBC中，由余弦定理，OC^2=OB^2+BC^2-2*OB*BC*cos∠OBC
所以 3=1+6-2*1*√6*cos∠OBC
所以 cos∠OBC=(√6)/3
所以 sin∠OBC=√[1-(cos∠OBC)^2]=(√3)/3
在RT△OBE中，OE=OB*sin∠OBC=1*(√3)/3=(√3)/3
因为AO⊥平面α，OE在平面α内，所以AO⊥OE
在RT△AOE中，tan∠AEO=AO/OE=1/[(√3)/3]=√3
所以 ∠AEO=60°
这个直角三角形所在平面与平面α所成的锐二面角为 60°

Answer 4

1) 过圆x^2+y^2=4上的一点（1，√3）的元的切线方程是（A）
A x+（√3）y-4=0 B （√3）x-y=0 C x+（√3）y=0 D x-（√3）y-4=0
解：圆心O(0,0),A（1，√3）,OA斜率为(√3-0)/(1-0)=√3
切线斜率为-1/√3=-(√3)/3
切线方程为 y-√3=[-(√3)/3]*(x-1)
即 x+(√3)y-4=0 故选（A）

2）光线从点（-1，3）射向x轴，经过x轴反射后过点（4，6），则反射光线所在的直线方程一般式是（9x-5y-6=0）
解：P（-1，3）,Q（4，6）
做P（-1，3）关于x轴的对称点 P'(-1,-3)
连接P'Q
P'Q即为反射光线所在的直线
(y-6)/(x-4)=(-3-6)/(-1-4)
9(x-4)=5(y-6)
9x-5y-6=0

3）△ABC中，D是BC边上任意一点（D与BC不重合），且|AB|^2=|AD|^2+|BD|*|DC|,用解析法证明：△ABC为等腰三角形
证明：以B为原点，BC为x轴正方向建立直角坐标系
设A(a,b)，B(0,0)，C(c,0) D(d,0) (b不为0,0<d<c)
|AB|^2=a^2+b^2
|AD|^2=（a-d）^2+b^2=a^2+b^2+d^2-2ad
|BD|*|DC|=|d|*|c-d|=d(c-d)
|AB|^2=|AD|^2+|BD|*|DC|
所以 a^2+b^2=a^2+b^2+d^2-2ad+cd-d^2
2ad=cd
2a=c
所以 |AC|^2=（a-c）^2+b^2=a^2+b^2+c^2-2ac=a^2+b^2+c(c-2a)=a^2+b^2=|AB|^2
所以 |AB|=|AC|.
所以△ABC为等腰三角形

4）已知方程x^2+y^2-2(m+3)x+2(1-4m^2)y+16m^4+9=0表示一个圆，
（1）求实数m的取值范围；（2）求该圆半径r的取值范围；（3）求圆心的轨迹方程。
解：（1）x^2+y^2-2(m+3)x+2(1-4m^2)y+16m^4+9=0
(x+m+3)^2+(y+1-4m^2)^2-(m+3)^2-(1-4m^2)^2+16m^4+9=0
(x+m+3)^2+(y+1-4m^2)^2=(m+3)^2+(1-4m^2)^2-16m^4-9
所以 (m+3)^2+(1-4m^2)^2-16m^4-9>0
m^2+6m+9+16m^4-8m^2+1-16m^4-9>0
m^2+6m-8m^2+1>0
-7m^2+6m+1>0
(7m+1)(m-1)<0
-1/7<m<1
（2）r^2=-7m^2+6m+1 (-1/7<m<1)
-7m^2+6m+1 的最大值为 [4*(-7)*1-6^2]/[4*(-7)]=16/7 (m=3/7时取到)
所以-1/7<m<1时 0<-7m^2+6m+1<=16/7
所以 0<r^2<=16/7
所以 0<r<=(4/7)√7
（3）设圆心P(x,y)
x=-m-3 ①
y=4m^2-1 ②
由①得 m=-x-3 代入②
得 y=4(-x-3)^2-1=4(x+3)^2-1
-1/7<m<1,所以 -1/7<-x-3<1 ，-4<x<-20/7
所以圆心的轨迹方程为 y=4(x+3)^2-1（-4<x<-20/7）

5）△ABC中，已知a=4，∠B=45°，若解此三角形时有且只有唯一解，则b的值应满足（ b=4 ）
解：解此三角形时有且只有唯一解，所以AC⊥BC
(因为若∠ACB不为90°，则存在∠ACB为锐角和∠ACB为钝角两种情况)
所以 b=a*tanB=4

6）已知点P（x，y）在经过两点A（3，0） B(1,1)的直线上，那么2^x+4^y的最小值是（ 4√2 ）
解：直线AB： (y-0)/(x-3)=(1-0)/(1-3)
x+2y-3=0
x=3-2y
2^x+4^y=2^(3-2y)+4^y=8*2^(-2y)+4^y
=8*4^(-y)+4^y>=2√{[8*4^(-y)]*(4^y)}=2√8=4√2
(当且仅当8*4^(-y)=4^y 即 8=4^(2y) 即 2^3=2^(4y) 即 3=4y 即y=3/4时取等)

7）过点P（2，1）且被圆C：x^2+y^2-2x+4y=0截得弦长最长的直线1的方程是（A）
A 3x-y-5=0 B 3x+y-7=0 C x-3y+5=0 D x+3y-5=0
解：圆心M(1,-2)
MP即为所求直线
(y-1)/(x-2)=(-2-1)/(1-2)
-3(x-2)=-(y-1)
3x-y-5=0
故选（A）

8）直角三角形ABC的斜边在平面α内，两条直角边分别与平面α成45°和30°，则这个直角三角形所在平面与平面α所成的锐二面角为（ 60° ）
解：为方便说明，我先把题目里的对应关系明确一下，看我下面的题目。没改题，只是标明对应关系。
题：直角三角形ABC的斜边BC在平面α内，两条直角边AB，AC分别与平面α成45°和30°，则这个直角三角形所在平面与平面α所成的锐二面角为（ 60° ）
解：作AO垂直平面α于O，连接OB，OC。过O做OE垂直BC，连接AE。
因为 AO⊥平面α,BC在平面α内,所以AO⊥BC
又OE⊥BC，所以BC⊥面AOE,所以BC⊥AE
所以∠AEO即为所求锐二面角
设AO=1，
在RT△AOB中，OB=AO*cot∠ABO=1*cot45°=1 ，
AB=AO/sin∠ABO=1/sin45°=√2
在RT△AOC中，OC=AO*cot∠ACO=1*cot30°=√3 ，
AC=AO/sin∠ACO=1/sin30°=2
在RT△ABC中，BC^2=AB^2+AC^2=(√2)^2+2^2=6,所以BC=√6
在△OBC中，由余弦定理，OC^2=OB^2+BC^2-2*OB*BC*cos∠OBC
所以 3=1+6-2*1*√6*cos∠OBC
所以 cos∠OBC=(√6)/3
所以 sin∠OBC=√[1-(cos∠OBC)^2]=(√3)/3
在RT△OBE中，OE=OB*sin∠OBC=1*(√3)/3=(√3)/3
因为AO⊥平面α，OE在平面α内，所以AO⊥OE
在RT△AOE中，tan∠AEO=AO/OE=1/[(√3)/3]=√3
所以 ∠AEO=60°
这个直角三角形所在平面与平面α所成的锐二面角为 60°

Answer 5

正确答案是这样的：
1) 过圆x^2+y^2=4上一点（1，√3）的切线方程是(A)
方法：过圆x^2+y^2=R^2上一点（a,b）的切线方程是:ax+by=R^2.(证明从略)

2）光线从点（-1，3）射向x轴，经过x轴反射后过点（4，6），则反射光线所在的直线方程一般式是（9x-5y-6=0）
方法：经x轴反射的反射光线的反向延长线经过光线出发点（-1，3）关于x轴的对称点（-1，-3).

3）△ABC中，D是BC边上任意一点（D与BC不重合），且|AB|^2=|AD|^2+|BD|*|DC|,用解析法证明：△ABC为等腰三角形
证明：设A、B、C、D四点坐标分别为A(a,b)、B(0,0)、C(c,0)、D(d,0),其中c＞d＞0.由题意求得:c=2a,即A在BC的中垂线上,∴△ABC为等腰三角形.

4）已知方程x^2+y^2-2(m+3)x+2(1-4m^2)y+16m^4+9=0表示一个圆，
（1）求实数m的取值范围:将圆方程化成标准形式:(x-a)^2+(y-b)^2=R^2,令R^2＞0解之.
（2）求该圆半径r的取值范围:求R^2的极值得之.
（3）求圆心的轨迹方程:令x=a,y=b,消m得之.

5）△ABC中，已知a=4，∠B=45°，若解此三角形时有且只有唯一解，则b的值应满足（b=a=4）

6）已知点P（x，y）在经过两点A（3，0） B(1,1)的直线上，那么2^x+4^y的最小值是（ 9 ）

7）过点P（2，1）且被圆C：x^2+y^2-2x+4y=0截得弦长最长的直线1的方程是（ A ）
A 3x-y-5=0 B 3x+y-7=0 C x-3y+5=0 D x+3y-5=0

8）直角三角形ABC的斜边在平面α内，两条直角边分别与平面α成45°和30°，则这个直角三角形所在平面与平面α所成的锐二面角为（60°）