Question

正态分布的标准差如何计算（越清楚越好）？谢谢。。

就是比如只给你一个正态分布的图，应该怎样估算它的标准差呢？

Answer 1

用平均数作为样本的代表，其代表性的强弱受样本资料中各观测值变异程度的影响。如果各观测值变异小，则平均数对样本的代表性强；如果各观测值变异大，则平均数代表性弱。因而仅用平均数对一个资料的特征作统计描述是不全面的，还需引入一个表示资料中观测值变异程度大小的统计量。
全距（极差）是表示资料中各观测值变异程度大小最简便的统计量。全距大，则资料中各观测值变异程度大，全距小，则资料中各观测值变异程度小。但是全距只利用了资料中的最大值和最小值，并不能准确表达资料中各观测值的变异程度，比较粗略。当资料很多而又要迅速对资料的变异程度作出判断时，可以利用全距这个统计量。
为了准确地表示样本内各个观测值的变异程度，人们首先会考虑到以平均数为标准，求出各个观测值与平均数的离差，即（），称为离均差。虽然离均差能表达一个观测值偏离平均数的性质和程度，但因为离均差有正、有负，离均差之和为零，即Σ（）=0，因而不能用离均差之和Σ（）来表示资料中所有观测值的总偏离程度。为了解决离均差有正、有负，离均差之和为零的问题，可先求离均差的绝对值并将各离均差绝对值之和除以观测值n求得平均绝对离差，即Σ||/n。虽然平均绝对离差可以表示资料中各观测值的变异程度，但由于平均绝对离差包含绝对值符号，使用很不方便，在统计学中未被采用。我们还可以采用将离均差平方的办法来解决离均差有正、有负，离均差之和为零的问题。先将各个离均差平方，即 ()2，再求离均差平方和，即Σ，简称平方和，记为SS；由于离差平方和常随样本大小而改变，为了消除样本大小的影响，用平方和除以样本大小，即Σ，求出离均差平方和的平均数；为了使所得的统计量是相应总体参数的无偏估计量，统计学证明，在求离均差平方和的平均数时，分母不用样本含量n，而用自由度n-1，于是，我们采用统计量Σ表示资料的变异程度。统计量Σ称为均方（mean square缩写为MS）,又称样本方差，记为S2，即
S2= （3—9）
相应的总体参数叫总体方差，记为σ2。对于有限总体而言，σ2的计算公式为：
σ2μ）2/N （3—10）
由于样本方差带有原观测单位的平方单位，在仅表示一个资料中各观测值的变异程度而不作其它分析时，常需要与平均数配合使用，这时应将平方单位还原，即应求出样本方差的平方根。统计学上把样本方差S2的平方根叫做样本标准差，记为S，即：
（3-11）
由于

所以（3-11）式可改写为：
（3-12）
相应的总体参数叫总体标准差，记为σ。对于有限总体而言，σ的计算公式为：
σ= （3-13）
在统计学中，常用样本标准差S估计总体标准差σ。

二、标准差的计算方法
（一）直接法 对于未分组或小样本资料，可直接利用（3—11）或（3-12）式来计算标准差。
【例3.9】 计算10只辽宁绒山羊产绒量：450，450，500，500，500，550，550，550，600，600，650（g）的标准差。
此例n=10，经计算得：Σx=5400，Σx2=2955000，代入（3—12）式得：
(g)
即10只辽宁绒山羊产绒量的标准差为65.828g。
（二）加权法 对于已制成次数分布表的大样本资料，可利用次数分布表，采用加权法计算标准差。计算公式为：
（3—14）
式中，f为各组次数；x为各组的组中值；Σf = n为总次数。
【例3.10】 利用某纯系蛋鸡200枚蛋重资料的次数分布表（见表3-4）计算标准差。
将表3-4中的Σf、Σfx、Σfx2代入（3—14）式得：
（g）
即某纯系蛋鸡200枚蛋重的标准差为3.5524g。

表3—4 某纯系蛋鸡200枚蛋重资料次数分布及标准差计算表
组别
组中值（x）
次数（f）
fx
fx2
44.15—
45.0
3
135.0
6075.0
45.85—
46.7
6
280.2
13085.34
47.55—
48.4
16
774.4
37480.96
49.25—
50.1
22
1102.2
55220.22
50.95—
51.8
30
1554.0
80497.20
52.65—
53.5
44
2354.0
125939.00
54.35—
55.2
28
1545.0
85317.12
56.05—
56.9
30
1707.0
97128.30
57.75—
58.6
12
703.2
41207.52
59.45—
60.3
5
301.5
18180.45
61.15—
62.0
4
248.0
15376.00
合计
Σf=200 Σfx=10705.1 Σfx2=575507.11

三、标准差的特性
（一）标准差的大小，受资料中每个观测值的影响，如观测值间变异大，求得的标准差也大，反之则小。
（二）在计算标准差时，在各观测值加上或减去一个常数，其数值不变。
（三）当每个观测值乘以或除以一个常数a，则所得的标准差是原来标准差的a倍或1/a倍。
（四）在资料服从正态分布的条件下，资料中约有68.26%的观测值在平均数左右一倍标准差（±S）范围内；约有95.43%的观测值在平均数左右两倍标准差（±2S）范围内；约有99.73%的观测值在平均数左右三倍标准差（±3S）范围内。也就是说全距近似地等于6倍标准差，可用（）来粗略估计标准差。

第三节 变异系数

变异系数是衡量资料中各观测值变异程度的另一个统计量。当进行两个或多个资料变异程度的比较时，如果度量单位与平均数相同，可以直接利用标准差来比较。如果单位和（或）平均数不同时，比较其变异程度就不能采用标准差，而需采用标准差与平均数的比值（相对值）来比较。标准差与平均数的比值称为变异系数，记为C·V。变异系数可以消除单位和（或）平均数不同对两个或多个资料变异程度比较的影响。
变异系数的计算公式为：
（3—15）
【例3.11】 已知某良种猪场长白成年母猪平均体重为190kg，标准差为10.5kg，而大约克成年母猪平均体重为196kg，标准差为8.5kg，试问两个品种的成年母猪，那一个体重变异程度大。
此例观测值虽然都是体重，单位相同，但它们的平均数不相同，只能用变异系数来比较其变异程度的大小。
由于，长白成年母猪体重的变异系数：
大约克成年母猪体重的变异系数：
所以，长白成年母猪体重的变异程度大于大约克成年母猪。
注意，变异系数的大小，同时受平均数和标准差两个统计量的影响，因而在利用变异系数表示资料的变异程度时，最好将平均数和标准差也列出。

Answer 2

已知正态概率密度曲线（即：钟型曲线），估计标准差的方法如下：
先找出平均值：即钟型曲线最高点对应的横坐标；
再找出概率密度曲线的切线的拐点，比如最高点的切线与横坐标轴平行；最高点右边的切线与横轴正向夹角小于180度；再往右走，有一点的切线与横轴夹角达到一个最小值，再向右切线与横轴夹角又增加；前面的最小值点，对应的横坐标与平均值的差值就是标准差的大小。
如果手头有正态概率纸，用其估计标准差的值就更为方便。
如果有原始数据，可用下式计算它的标准差：
先算它的数学期望：
E=(x1+x2+...+xn)/n；
再算它的标准差：
σ=√{Σ(i：1→n) (xi - E)² / n} 。

Answer 3

规律：图形越矮胖，标准差越大；图形越高瘦，标准差越小

正态分布图是反映数据的集中情况的，
越矮胖，就是数据越不集中，标准差就越大
越高瘦，就说明数据集中在某些数据周围，标准差固然就小

Answer 4

用计算器求数据标准差