Question

函数f(x)=x+1/x,x∈[1/2,3]的值域为

求解题过程

Answer 1

思路：求值域，也就是求f(x)的最大值和最小值，这些问题一般都涉及到f'(x)和f''(x)
当f'(x)=0时，函数取得极值（不一定是最值），当在这一点f''(x)>0时，函数取得极小值，当f''(x)<0时函数取得极大值，当f''(x)=0时，改点非极值点。
另外，极值也要考虑端点与断点，该函数在x=0处是断点，但x=0不在[1/2,3]范围内，所以不考虑，只需考虑两个端点1/2和3。
过程：
f'(x)=1-1/x^2
f'(x)=0 => 1-1/x^2=0 => x=1
f''(x)=2/x^3 => f''(1)=2>0,所以改点是极小值点，由于只有一个点使f'(x)=0所以改点也是最小值点，其值为f(1)=2
端点1/2和3的值为f(1/2)=5/2；f(3)=10/3，所以函数在端点3处取得最大值10/3
所以该函数的值域为[2,10/3]

Answer 2

我是用的反函数法
先求原式的反函数是y=1/(x-1)
因为 x∈[1/2,3]
所以 1/2<1/(x-1)<3
再解这个不等式，求交集
我最后得[4/3,3]
你可以再算一下

Answer 3

很简单。
①：均值定理法。
x+1/x≥2,当且仅当x=1/x时取等号。此时x=1.然后比较端点值。
f(1/2)=2.5,f(3)=10/3.所以值域是[2，10/3]
②：对勾函数法。（别告诉我你不知道对勾函数）
http://baike.baidu.com/view/701834.htm
画个图，一看就知道值域是[2，10/3]。
③：导数法。
f`(x)=1-1/x^2.
在[1，+∞）为增函数，在（0，1]为减函数，则在x=1处取得最小值。然后比较端点值，同样可以比较大小。[2，10/3]。