Question

急求高人解答 抽象函数解析式

已知f（x）对任意实数x，y都有f(x+y)=f(x)+2y(x+y)且f（1）=1求f（x）的解析式.

Answer 1

令x=1，y=-1，代入：

f(0)=f(1)=1;

令y=1，代入原式：

f(x+1)=f(x)+2(x+1)（需要注意的是x=0时，这个式子不成立）
移项后：
f(x+1)-f(x)=2x+2

这个显然是个递推式，下面用n代替x进行演绎：
显然
f(2)-f(1)=2*1+2
f(3)-f(2)=2*2+2
…………………
f(n)-f(n-1)=2*(n-1)+2

以上等式分别相加起来

f(n)-f(1)=2*[(n-1)+(n-2)+……+1]+2*(n-1)

将f(1)=1代入，得：

f(n)=n^2+n-1（这里你验算一下，不知道有没有算错）

将n换成x，则得到分段函数：

f(x)=x^2+x-1(x>0)
f(0)=1（x=0）

嗯……自己再按上述思路求负数部分，这里不再述说（别太懒哈）..

Answer 2

令x=1
f(1+y)=f（1）+2y(1+y)
=1+2(1+y-1)(1+y)
用x代1+y
f(x)=1+2(x-1)x=2x^2-2x+1

Answer 3

令x=0,y=1,则f(1)=f(0)+2=1 ,得f(0)=-1
令x=0,y=1,则f(y)=-1+2y^2
即f(x)= -1 +2x^2

Answer 4

显然,f(x+1)=f(x)+2(x+1)
所以f(x)=f(x-1)+2x
f(X-1)=f(x-2)+2x-2
...
累加,所以f(x)=-f(1)+x^2+x
f(x)=x^2+x-1