Question

已知函数f（x）=（1/3）x³－2x²＋ax,在曲线y=f（x）的所有切线中

已知函数f（x）=（1/3）x³－2x²＋ax（a∈R,x∈R）,在曲线y=f（x）的所有切线中,有且仅有一条切线l与直线y＝x垂直。
1＞ 求a的值和切线l的方程
2＞ 设曲线y＝f（x）上任意一点处的切线的倾斜角为θ，求θ的取值范围

Answer 1

解：1.切线的斜率是k=f’(x)=x2-4x+a,又有且仅有一条切线与直线y＝x垂直，
即当k=-1时有且只有一个根，即△=16-4（a+1）=0,得a=3
当a=3时，且k=-1，切点（2，1/3）切线方程是y=-(x-2)+1/3
2.由上题k= x2-4x+3=（x-2）2-1得k>=-1即-π/4≤θ≤π/2或者3π/4≤θ≤3π/2

Answer 2

1、求导f'(x)＝x²－4x＋a，由题意知f'(x)＝－1有唯一解，所以判别式△＝16－4(a+1)＝0，a＝3
f'(x)=-1的解是x＝2，f(2)＝2/3，切线方程是y－2/3＝－(x-2)，即3x＋3y＝8

2、f'(x)＝x²－4x＋3＝(x-2)²－1≥－1，所以tanθ≥－1，θ的范围是0≤θ＜π/2或3π/4≤θ＜π

Answer 3

1> a=3,y=-x+8\3
2>[0,90]并[135,180]