Question

已知函数f(x)=x3+ax²+b,曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线为y=x

（1）求a，b
(2)求f（x)的单调区间，并说明他在各区间的单调性

Answer 1

（1）f（x）的导数为F(x)=3x²+2ax
由题意得F(1)=1即3+2a=1（这里F(1)=1是指f（x）在点（1,1）时的切线斜率得知的）
得a=-1
故f（x）=x³-x²+b
由题意得f（1）=1（f（x）过点（1,1）得知）
故1-1+b=1得b=1
所以函数f（x）=x³-x²+1和a=-1：b=1
（2）由（1）可得f（x）的导数F(x)=3x²-2x
令F（x）=0
故可得x1=0，x2=2/3
当x在区间（-∞，0】时，F（x）＞0，即f（x）在（-∞，0】单调递增
当x在区间（0，2/3）时，F（x）＜0，即f（x）在（0,2/3）单调递减
当x在区间[2/3,+∞)时，F(x)＞0，即f（x）在【2/3，+∞）单调递增

Answer 2