Question

对于R上可导的任意函数f(x),若满足（x-1）f'(x)>=0

1.对于R上可导的任意函数f(x),若满足（x-1）f'(x)>=0,则必有
A.f(0)+f(2)<2f(1) B.f(0)+f(2)<=2f(1)
C.f(0)+f(2)>=2f(1) D.f(0)+f(2)>2f(1)

2.用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊接成铁盒，所做铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为？

A.6cm B.8cm C.10cm D.12cm

求解题过程..

Answer 1

1.当f(x)是常数函数时，f'(x)=0,满足上式，此时f(0)+f(2)=2f(1)
当不是常数函数，x>=1,f'(x)>=0;x<=1,f'(x)<=0,则x=1是最小值点
f(0)>f(1),f(2)>f(1)
f(0)+f(2)>2f(1)
所以f(0)+f(2)>=2f(1) ，选C

2.V=(48-2x)^2*x
V'=(48-2x)^2-4x((48-2x)
V'=0,x1=8,x2=24
因为48-2x>0
所以x=8,即x=8时取最大值,Vmax=8192cm^3。 选B

Answer 2

1 若f'(x)=0 则f(x)为常函数 f(0)+f(2)=2f(1)
若f'(x)不=0 则f'(x)与（x-1）同号
分：x〉=1时 f'(x)〉0 单增函数 f(2)>f(1)
x<1时 f'(x)<0 单减函数 f(0)>f(1) 2式相加 f(0)+f(2)>2f(1)
所以选C

2 设截去的小正方形边长为X V（X）=（48-2X）^2*X=4X^3-192X^2+2304X 求 V（X）的导数 V'(x)=0 得出X=8或者24 最大时X必为8 选B

Answer 3

(x-1)f'(x)≥0等价于
x≥1且f'(x)≥0或者x≤1且f'(x)≤0
因此必有x=1为函数的拐点，且f'(1)=0
因此f(1)为函数的极小值。因此必有f(0)>f(1),f(2)>f(1)
因此有f(0)+f(2)>2f(1)

Answer 4

C。由可导知，x>=1,f'(x)>=0,故f(2)>=f(1)。同理f(0)>=f(1)，当且仅当f(x)为常函数时取=