Question

设三角形ABC内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且acosB-bcosA=3c/5.

（2）求tan（A-B）的最大值

Answer 1

acosB-bsinA=3/5c 两边都除以2R
可化为sinAcosB-sinBcosA=3/5sinC
又sinC=sin(A+B)===>sinAcosB-sinBcosA=3/5(sinAcosB+sinBcosA)
∴可化为tanA=4tanB
∴tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)=3/[(1/tanB)+4tanB]
当1/tanB=4tanB====>tanB=1/2时取得最大值
∴tan(A-B）的最大值=3/4

Answer 2

acosB-bcosA=(3/5)c
由正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC=k
得: a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC
即: ksinAcosB-ksinBcosA=（3/5）ksinC，∠C=π-(∠A+∠B)
<=> sinAcosB-sinBcosA=（3/5）sin[π-(A+B)]
<=> sinAcosB-sinBcosA=（3/5）sin(A+B)
<=> sinAcosB-sinBcosA=（3/5）sinAcosB+（3/5）sinBcosA
<=> （2/5）sinAcosB=（8/5）sinBcosA
<=> sinA/cosA=4sinB/cosB
<=> tanA=4tanB
tanA/tanB=4

tan（A-B）=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)=3tanB/(1+4(tanB)^2)
=3/[1/tanB+4tanB]
<=3/[2根号(1/tanB*4tanB)]
=3/4.
当1/tanB=4tanB时,即tanB=1/2时,取"=".
即最大值是3/4.

Answer 3

同学
我现在只是化简到了关于tanB的函数。