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小明家住和平街,有一位同学向他打听:“小明,你家门牌是几号?”
“我家住的那条街的门牌号是从1开始挨着编下去的,除我家外,其余各家门牌号加起来恰好等于10000。你知道我家是几号了吧!”
这位同学摸了摸脑袋,不解地说:“我还是不知道。”
小朋友,你知道小明家门牌是几号了吗?
分析与解
根据题意,小明住的和平街所有各家门牌号之和应大于10000。经试算
140家门牌号码之和为1+2+3+……+140=(1+140)×140÷2=9870。这个数小于10000,不符合题意。141家门牌号数之和为10011,小明家门牌号数是10011-10000=11(号)
142家的门牌号之和为10153,小明家的门牌号是10153-10000=153(号)。这里我们设定是142家,而由题意可知:142家不会有一家的门牌号是153,即这是不可能的。当设定有142家以上时,也会出现这种矛盾,所以和平街只能有141家,小明家门牌号一定是11号。
答:小明家门牌号是11号。
有一只小松鼠,不爱动脑子,做什么事情都怕麻烦。一次,妈妈叫小松鼠清点一堆松子,至少有几十个。它两个两个地数,最后多出一个。它嫌麻烦,把这一个扔在一边,不管了,但前面的数它又忘了。于是又五个五个地数,数到最后还多一个,它又把这多出的一个扔到一边去,又从头数起。它想数得快一点儿,于是七个七个地数,数到最后,偏偏还多一个,它又把这多出的一个扔了。小松鼠就这么折腾了三次,到头来这堆松子的总数仍然没有数清楚。小朋友,你能帮助它算一算这堆松子至少有多少个吗?
分析与解
题目的意思可以概括为:求这样一个数,被2除余1,被5除余2,被7除余3。”这个问题比较复杂,因为所求的的数被2、5、7除,余数又各不一样。
现在我们用“累加法”求解。具体作法是:用3加7,再加7得17,而17是被5除余2的数,这数被2除也余1,所以它是符合三个条件的数。但是题意说,松子有几十个,可见17不符合这个要求,还得另找其他数才行。为此,在17上加35,再加35得87,而87是继17后第一个符合三个条件的数,所以87就是本题的答案。
验算一下,87被2除余l,被5除余2,被7除余3,符合题意。
这种方法的道理是先从被7除余3的数中去找被5除余2的数;再从“被7除余3,被5除余2”的数中去找被2除余1的数。第一个符合条件的数就是要求的数中最小的一个数。如果要求的数不是最小的数,而是某一个范围的数,那么只要加上70的适当倍数,就可以了。比如,题目要说这堆松子有200多个,要求算一算这堆松子到底有多少个?你只要用87加上两个70,得227个便是答案。
答:这堆松子至少有87个。
我们先看一个有趣的问题:
37×3=111,37×6=222
37×9=333,37×12=444
请你用六个1,六个2,六个3,……六个9分别组成一个算式,使得每个算式的结果都等于37。
分析与解
组成的每个算式如下:因为37×3=111所以:111÷(1+1+1)=37
因为37×6=222所以:222÷(2+2+2)=37
因为37×9=333所以:333÷(3+3+3)=37
……
999÷(9+9+9)=37
80枚5分硬币中有一枚是假的,它比真硬币重一些。用一架天平去称,不用砝码最少称几次,才能保证找出这枚假硬币来?
分析与解
先把80枚硬币分为27枚、27枚、26枚3份。将其中的两份,如 27枚、27枚分别放在天平两端,如果有一堆重些,说明假硬币在这份中,(若两端正好平衡,那么假硬币在26枚的那份中),于是将较重的27枚分成每份为9枚的3份;(如假硬币在26枚一份中,则将26枚分为9枚、9枚、8枚3份),取其中两份分别放在天平的两端,如其中有一份重些,那么假硬币就在较重这份中;如两份平衡,则假硬币就在未称的那份中。将较重的这份硬币再分为每份为3枚的三份,继续照以上操作。这样前后共称4次就一定能找出这枚假硬币来。
1.三边均为整数,且最长边为11的三角形有多少个?
参考答案:
11,11,11;11,11,10;11,11,9;...11,11,1;
11,10,10;11,10,9;...11,10,2;
11,9,9;...11,9,3;
11,8,8;...11,8,4;
11,7,7,...11,7,5;
11,6,6;
1+3+5+7+9+11=6^2=36
如果将11改为n的话,
n=2k-1时,为k^2个三角形;
n=2k时,为(k+1)k个三角形。
2.已知各项均为正整数的算术级数,其中一项是完全平方数,证明:此级数一定含有无穷多个完全平方数.
参考答案
证明:首先由级数各项为正可知公差d>=0,d=0,则a1=a2=a3=...=an=...所以只要有一项为完全平方数,所有项均为完全平方数,由于级数的项数为无限,所以命题得证。
d>0,时d一定为正整数。不妨设第i项为完全平方数ai=k^2(i=1,2,3,...),则ai+(2k+d)d=k^2+2kd+d^2=(k+d)^2,也为完全平方数,所以第i+(2k+d)d项为完全平方数,一般的有i+(2nk+n^2d)(n=1,2,3,...)项均为完全平方数(数学归纳法的证明略),由于n可取无穷项,所以命题得证。
综上命题成立。
3.求所有的素数p,使4p^2+1和6p^2+1也是素数.
参考答案
考虑p对5的余数,余数为1时
余数为1时:4p^2+1≡4*1+1≡0(mod5),由于4p^2+1>=4*2^2+1=17,而又可以被5整除,所以一定不是素数;
余数为2时:6p^2+1≡6*4+1≡0(mod5),由于6p^2+1>=6*2^2+1=25,而又可以被5整除,所以一定不是素数;
余数为3时:6p^2+1≡6*9+1≡0(mod5),由于6p^2+1>=6*2^2+1=25,而又可以被5整除,所以一定不是素数;
余数为4时:4p^2+1≡4*16+1≡0(mod5),由于4p^2+1>=4*2^2+1=17,而又可以被5整除,所以一定不是素数;
所以由上可知5|p,然而p是质数,所以p只能是5。
4.证明存在无限多个自然数a有下列性质:对任何自然数n,z=n^4+a都不是素数.
参考答案
证明:利用费马小定理的另一种形式p|n^(p-1)-1,(p为质数,n为任意自然数),所以p-1=4,p=5,5|n^4-1,所以5|n^4-1+5,5|n^4+4,5|n^4+9,5|n^4+14...由于n^4+9>5,所以a=9,14,19,24,...5k+4(k=1,2,3,...)均可使z=n^4+a都不是素数,所以命题得证。
5.证明:如果p和p+2都是大于3的素数,那么6是p+1的因数
参考答案
p p+1 p+2 是3个连续自然数其中必有一个数被3整除,
已知 P P+2是素数, P P+2不能被3整除. 则P+1能被3整除.
又, P是素数, P一定是奇数, P+1是偶数,
故P+1必被6整除.
“我家住的那条街的门牌号是从1开始挨着编下去的,除我家外,其余各家门牌号加起来恰好等于10000。你知道我家是几号了吧!”
这位同学摸了摸脑袋,不解地说:“我还是不知道。”
小朋友,你知道小明家门牌是几号了吗?
分析与解
根据题意,小明住的和平街所有各家门牌号之和应大于10000。经试算
140家门牌号码之和为1+2+3+……+140=(1+140)×140÷2=9870。这个数小于10000,不符合题意。141家门牌号数之和为10011,小明家门牌号数是10011-10000=11(号)
142家的门牌号之和为10153,小明家的门牌号是10153-10000=153(号)。这里我们设定是142家,而由题意可知:142家不会有一家的门牌号是153,即这是不可能的。当设定有142家以上时,也会出现这种矛盾,所以和平街只能有141家,小明家门牌号一定是11号。
答:小明家门牌号是11号。
有一只小松鼠,不爱动脑子,做什么事情都怕麻烦。一次,妈妈叫小松鼠清点一堆松子,至少有几十个。它两个两个地数,最后多出一个。它嫌麻烦,把这一个扔在一边,不管了,但前面的数它又忘了。于是又五个五个地数,数到最后还多一个,它又把这多出的一个扔到一边去,又从头数起。它想数得快一点儿,于是七个七个地数,数到最后,偏偏还多一个,它又把这多出的一个扔了。小松鼠就这么折腾了三次,到头来这堆松子的总数仍然没有数清楚。小朋友,你能帮助它算一算这堆松子至少有多少个吗?
分析与解
题目的意思可以概括为:求这样一个数,被2除余1,被5除余2,被7除余3。”这个问题比较复杂,因为所求的的数被2、5、7除,余数又各不一样。
现在我们用“累加法”求解。具体作法是:用3加7,再加7得17,而17是被5除余2的数,这数被2除也余1,所以它是符合三个条件的数。但是题意说,松子有几十个,可见17不符合这个要求,还得另找其他数才行。为此,在17上加35,再加35得87,而87是继17后第一个符合三个条件的数,所以87就是本题的答案。
验算一下,87被2除余l,被5除余2,被7除余3,符合题意。
这种方法的道理是先从被7除余3的数中去找被5除余2的数;再从“被7除余3,被5除余2”的数中去找被2除余1的数。第一个符合条件的数就是要求的数中最小的一个数。如果要求的数不是最小的数,而是某一个范围的数,那么只要加上70的适当倍数,就可以了。比如,题目要说这堆松子有200多个,要求算一算这堆松子到底有多少个?你只要用87加上两个70,得227个便是答案。
答:这堆松子至少有87个。
我们先看一个有趣的问题:
37×3=111,37×6=222
37×9=333,37×12=444
请你用六个1,六个2,六个3,……六个9分别组成一个算式,使得每个算式的结果都等于37。
分析与解
组成的每个算式如下:因为37×3=111所以:111÷(1+1+1)=37
因为37×6=222所以:222÷(2+2+2)=37
因为37×9=333所以:333÷(3+3+3)=37
……
999÷(9+9+9)=37
80枚5分硬币中有一枚是假的,它比真硬币重一些。用一架天平去称,不用砝码最少称几次,才能保证找出这枚假硬币来?
分析与解
先把80枚硬币分为27枚、27枚、26枚3份。将其中的两份,如 27枚、27枚分别放在天平两端,如果有一堆重些,说明假硬币在这份中,(若两端正好平衡,那么假硬币在26枚的那份中),于是将较重的27枚分成每份为9枚的3份;(如假硬币在26枚一份中,则将26枚分为9枚、9枚、8枚3份),取其中两份分别放在天平的两端,如其中有一份重些,那么假硬币就在较重这份中;如两份平衡,则假硬币就在未称的那份中。将较重的这份硬币再分为每份为3枚的三份,继续照以上操作。这样前后共称4次就一定能找出这枚假硬币来。
1.三边均为整数,且最长边为11的三角形有多少个?
参考答案:
11,11,11;11,11,10;11,11,9;...11,11,1;
11,10,10;11,10,9;...11,10,2;
11,9,9;...11,9,3;
11,8,8;...11,8,4;
11,7,7,...11,7,5;
11,6,6;
1+3+5+7+9+11=6^2=36
如果将11改为n的话,
n=2k-1时,为k^2个三角形;
n=2k时,为(k+1)k个三角形。
2.已知各项均为正整数的算术级数,其中一项是完全平方数,证明:此级数一定含有无穷多个完全平方数.
参考答案
证明:首先由级数各项为正可知公差d>=0,d=0,则a1=a2=a3=...=an=...所以只要有一项为完全平方数,所有项均为完全平方数,由于级数的项数为无限,所以命题得证。
d>0,时d一定为正整数。不妨设第i项为完全平方数ai=k^2(i=1,2,3,...),则ai+(2k+d)d=k^2+2kd+d^2=(k+d)^2,也为完全平方数,所以第i+(2k+d)d项为完全平方数,一般的有i+(2nk+n^2d)(n=1,2,3,...)项均为完全平方数(数学归纳法的证明略),由于n可取无穷项,所以命题得证。
综上命题成立。
3.求所有的素数p,使4p^2+1和6p^2+1也是素数.
参考答案
考虑p对5的余数,余数为1时
余数为1时:4p^2+1≡4*1+1≡0(mod5),由于4p^2+1>=4*2^2+1=17,而又可以被5整除,所以一定不是素数;
余数为2时:6p^2+1≡6*4+1≡0(mod5),由于6p^2+1>=6*2^2+1=25,而又可以被5整除,所以一定不是素数;
余数为3时:6p^2+1≡6*9+1≡0(mod5),由于6p^2+1>=6*2^2+1=25,而又可以被5整除,所以一定不是素数;
余数为4时:4p^2+1≡4*16+1≡0(mod5),由于4p^2+1>=4*2^2+1=17,而又可以被5整除,所以一定不是素数;
所以由上可知5|p,然而p是质数,所以p只能是5。
4.证明存在无限多个自然数a有下列性质:对任何自然数n,z=n^4+a都不是素数.
参考答案
证明:利用费马小定理的另一种形式p|n^(p-1)-1,(p为质数,n为任意自然数),所以p-1=4,p=5,5|n^4-1,所以5|n^4-1+5,5|n^4+4,5|n^4+9,5|n^4+14...由于n^4+9>5,所以a=9,14,19,24,...5k+4(k=1,2,3,...)均可使z=n^4+a都不是素数,所以命题得证。
5.证明:如果p和p+2都是大于3的素数,那么6是p+1的因数
参考答案
p p+1 p+2 是3个连续自然数其中必有一个数被3整除,
已知 P P+2是素数, P P+2不能被3整除. 则P+1能被3整除.
又, P是素数, P一定是奇数, P+1是偶数,
故P+1必被6整除.
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1、某校有100名学生参加数学竞赛,平均分是63分,其中男生平均分是60分,女生平均分是70分,男同学比女同学多( )人。
2、有黑白棋子一堆,其中黑子的个数是白子个数的2倍,如果从这堆棋子中每次同时取出黑子4个,白子3个,那么取出( )次后,白子余1个,而黑子余18个。
3、学校买回4个篮球和5个排球一共用185元,一个篮球比一个排球贵8元,篮球的单价是( )元。
4、小强爱好集邮,他用1元钱买了4分和8分的两种邮票,共20张,那么他买了4分邮票( )张。
5、松鼠妈妈采松子,晴天每天采20个,雨天每天可采12个,它一连采了112个,平均每天采14个,这几天中有( )天是雨天。
6、一些2分与5分的硬币共299分,其中2分的个数是5分个数的4倍,5分的有( )个。
7、某人领得工资240元,有2元、5元、10元三种人民币共50张,其中2元和5元的张数一样多,那么10元的有( )张。
8、买一些4分、8分、1角的邮票共15张,用币100分,最多可买1角的( )张。
9、买一些4分与8分的邮票共花6元8角,已知8分的邮票比4分的多40张,那么8分的邮票有( )张。
10、鸡兔共200只,鸡的脚比兔的脚少56只,则鸡有( )只,兔有( )只?
11、有一辆货车运输2000只玻璃瓶,运费按到达时完好瓶子数目计算,每只2角,如有破损,破损1个瓶子还要倒赔1元,结果得到运费379.6元,问这次搬运中玻璃损坏了( )只。
12、某次数学测验共20题,做对一题得5分,做错一题倒扣1分,不做得0分,小华得了76分,问他做对( )题。
13、甲乙两人射击,若命中,甲得4分,乙得5分;若不中,甲失2分,乙失3分,每人各射10发,共命中14发,结算分数时,甲比乙多10分,问甲中( )发,乙中( )发。
14、鸡兔同笼,共有头100个,足316只,那么鸡有( )只,兔有( )只。
15、小明花了4元钱买贺年卡和明信片,共14张,贺年卡每张3角5分,明信片每张2角5分,他买了( )张贺年卡,( )张明信片。
16、东湖小学六年级举行数学竞赛,共20道试题,做对一题得5分,没有做一题或做错一题倒扣3分,刘刚得了60分,则他做对了( )题。
17、鸡兔共有脚100只,若将鸡换成兔,兔换成鸡,则共有脚92只,则鸡( )只,兔( )只。
18、100个馒头100个和尚吃,大和尚每人吃3个,小和尚3人吃一个,则大和尚有( )个,小和尚有( )个。
19、30枚硬币,由2分和5分组成,共值9角9分,2分硬币有( )个,5分有( )个。
20、有钢笔和铅笔27盒,共计300支,钢笔每盒10支,铅笔每盒12支,则钢笔有( )盒,铅笔有( )盒。
2、有黑白棋子一堆,其中黑子的个数是白子个数的2倍,如果从这堆棋子中每次同时取出黑子4个,白子3个,那么取出( )次后,白子余1个,而黑子余18个。
3、学校买回4个篮球和5个排球一共用185元,一个篮球比一个排球贵8元,篮球的单价是( )元。
4、小强爱好集邮,他用1元钱买了4分和8分的两种邮票,共20张,那么他买了4分邮票( )张。
5、松鼠妈妈采松子,晴天每天采20个,雨天每天可采12个,它一连采了112个,平均每天采14个,这几天中有( )天是雨天。
6、一些2分与5分的硬币共299分,其中2分的个数是5分个数的4倍,5分的有( )个。
7、某人领得工资240元,有2元、5元、10元三种人民币共50张,其中2元和5元的张数一样多,那么10元的有( )张。
8、买一些4分、8分、1角的邮票共15张,用币100分,最多可买1角的( )张。
9、买一些4分与8分的邮票共花6元8角,已知8分的邮票比4分的多40张,那么8分的邮票有( )张。
10、鸡兔共200只,鸡的脚比兔的脚少56只,则鸡有( )只,兔有( )只?
11、有一辆货车运输2000只玻璃瓶,运费按到达时完好瓶子数目计算,每只2角,如有破损,破损1个瓶子还要倒赔1元,结果得到运费379.6元,问这次搬运中玻璃损坏了( )只。
12、某次数学测验共20题,做对一题得5分,做错一题倒扣1分,不做得0分,小华得了76分,问他做对( )题。
13、甲乙两人射击,若命中,甲得4分,乙得5分;若不中,甲失2分,乙失3分,每人各射10发,共命中14发,结算分数时,甲比乙多10分,问甲中( )发,乙中( )发。
14、鸡兔同笼,共有头100个,足316只,那么鸡有( )只,兔有( )只。
15、小明花了4元钱买贺年卡和明信片,共14张,贺年卡每张3角5分,明信片每张2角5分,他买了( )张贺年卡,( )张明信片。
16、东湖小学六年级举行数学竞赛,共20道试题,做对一题得5分,没有做一题或做错一题倒扣3分,刘刚得了60分,则他做对了( )题。
17、鸡兔共有脚100只,若将鸡换成兔,兔换成鸡,则共有脚92只,则鸡( )只,兔( )只。
18、100个馒头100个和尚吃,大和尚每人吃3个,小和尚3人吃一个,则大和尚有( )个,小和尚有( )个。
19、30枚硬币,由2分和5分组成,共值9角9分,2分硬币有( )个,5分有( )个。
20、有钢笔和铅笔27盒,共计300支,钢笔每盒10支,铅笔每盒12支,则钢笔有( )盒,铅笔有( )盒。
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一
一只猫吃一只老鼠用5分钟,五只猫吃五只老鼠要用几分钟?
二
小明骑在牛背上要赶着四头水牛过河,这四头牛过河分别需要2分、3分、6分、8分钟,并且每次只能赶着两头牛过河。那么小明至少需要( )分钟才能把牛全部赶过河去。
三
屋子里有十只燃着的蜡烛,一阵风吹进来吹灭了三支,请问第二天小明进来时屋里还有几只蜡烛?
四
在下面的□里填上连续的5个数,使它们的和等于45。
□+□+□+□+□=45
五
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二
小明骑在牛背上要赶着四头水牛过河,这四头牛过河分别需要2分、3分、6分、8分钟,并且每次只能赶着两头牛过河。那么小明至少需要( )分钟才能把牛全部赶过河去。
三
屋子里有十只燃着的蜡烛,一阵风吹进来吹灭了三支,请问第二天小明进来时屋里还有几只蜡烛?
四
在下面的□里填上连续的5个数,使它们的和等于45。
□+□+□+□+□=45
五
从前有个农夫,死时留下几头牛,在他的遗书中写道:“妻子:分给全部牛的半数再加半头;长子:分给剩下的牛半数再加半头;次子:分给还剩下的牛的半数再加半头;长女:分给最后剩下的半数再加半头。”结果一头牛也没有杀,也没有剩下,正好全部分完。请问农夫死时留下几头牛?
六
小霞和小丽都喜欢看漫画,小霞的漫画书比小丽多30本。小丽拿6本送给弟弟后,小霞的漫画书数量是小丽的四倍,问原来小霞和小丽各有多少本漫画书?
七
体育课上,30个同学排成一横队,依次报数后,老师说:1~10号向前一步走,20~30号后退一步走。请问:还有( )个同学原地不动。
八
一个正方形被分成5个相同的长方形,这个正方形的周长是60厘米,每个长方形的周长是多少厘米?
九
□×○=◆
○+○+○=◆-○-○
□=( )
十
甲、乙、丙三个数的和为190,甲比丙的3倍多7,乙比丙的2倍少3.求这三个数各是多少?
十一
一队同学做早操,从前面数小明是第6个,从后面数小明是第4个,那么这队有多少人?
十二
六一儿童节时,老师给同学们分贴画,如果每人分6张还多6张,如果人数增加到四倍少六人,每人分2张还缺10张那么共有贴画多少张?
十三
一个圆形花坛边上种了20棵柳树,每两棵柳树之间种一棵杨树,问花坛四周一共种了多少棵树?
十四
去年爸爸的年龄比儿子大28岁,明年妈妈的年龄比儿子大25岁,今年爸爸与妈妈的年龄和是75岁,今年他们三人各是多少?
十五
在一个减法算式里,被减数、减数与差的和等于72,而减数是差的3倍,差是多少?
十六
两根一样长的木棒连接在一起后是110厘米,连接处长10厘米,那么一根木板没连接之前是多长?
十七
某地的邮政编码可用ABCCDD表示,已知这六个数字的和是8,A与B的和等于2个D,A是最小的自然数。这个邮政编码是( )。
十八
学校买来一些毽子,分给全校各班。如果每班16个,恰好分完;如果少给2个班,每个班多分1个,还剩10个。班级和毽子各多少个?
十九
在一个正方形四条边上每条边上摆四盆花,最少需要多少盆花?
二十
有两筐柚子,第一框有90个,第二框有75个,从第二框取出一部分,使得第一框的柚子数量是第二框的4倍,,问从第二框里取出多少柚子放到第一堆?
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2009-07-28
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