Question

如何证明函数的单调性

函数f（x）=x2+1在（-∞，0）上是减函数

（X的平方加一）

Answer 1

根据定义来证明，
在（-∞，0）任取x1和x2,并设x1<x2
f(x1)=x1^2+1,f(x2)=x2^2+1
f(x1)-f(x2)=x1^2-x2^2
=(x1-x2)(x1+x2)
因为x1<x2<0
所以x1+x2<0
x1-x2<0
所以(x1-x2)(x1+x2)>0
所以f(x1)<f(x2)
即在（-∞，0）上，函数值随x的增大而减小，所以函数在（-∞，0）上单调递减。
当然也可以用导数证明。不过我猜你还没学？那就用定义。定义法证明常常作差或做商比较大小，再根据单调性定义判断

Answer 2

在定义域（-∞，0）上取x1，x2，使得x1＞x2
f（x1）-f（x2）=x1²+1-（x2²+1）
=x1²-x2²
=（x1+x2）（x1-x2）
∵x1,x2均在（-∞，0）上
∴x1,x2都小于0
∴x1+x2＜0
∵x1＞x2
∴x1-x2＞0
∴（x1+x2）（x1-x2）＜0
f（x1）-f（x2）＜0
f（x1）＜f（x2）
∴函数f（x）=x2+1在（-∞，0）上是减函数

Answer 3

可以用求导的方法:
f'(x)=2x x<0 f'(x)<0
函数f（x）=x2+1在（-∞，0）上是减函数

也可以用下面的方法:
设x1,x2在定义域内,且0>x2>x1

f(x2)-f(x1)
=x2^2-x1^2
=(x2+x1)(x2-x1)
x2+x1<0
x2-x1>0
f(x2)-f(x1)<0
f(x2)<f(x1)
函数f（x）=x^2+1在（-∞，0）上是减函数

Answer 4

这个很简单的
单调性先看定义域 函数只有在相应的定义域中单调
由题意定义域<0则看其图像
显然是二次函数y=x2再向上平移1个单位长度
设x1<x2<0
f(x1)-f(x2)
=x1^2-x2^2
=(x1+x2)(x1-x2)
x1+x2<0
x1-x2<0
f(x1)-f(x2)>0
所以是减函数
这是书上的原题
你好好想想 一定会的
总结：1定义域（单调区间）2图像 3设两个值x1 x2

Answer 5

假设x1<x2<0
f(x1)-f(x2)
=x1^2-x2^2
=(x1+x2)(x1-x2)
x1+x2<0
x1-x2<0
f(x1)-f(x2)>0
所以是减函数
在没学导数的时候，这是一种比较好的方法，或者比较两值的差，或者比较两值的比值都可以