Question

定积分的证明题

如图
请准确详细,分可另多加.
请用数学软件制作,并发图上来,这样清楚.
时间充裕,不急.

Answer 1

∫[0→π/2]f(sinx)dx
= ∫[0→1]f(t)d(arcsint) (变量代换t = sinx，改上下限)
= ∫[0→1]f(t)/√(1-t²)dt

∫[0→π/2]f(cosx)dx
= ∫[1→0]f(t)d(arccost) (变量代换t = cosx，改上下限)
= -∫[1→0]f(t)/√(1-t²)dt
= ∫[0→1]f(t)/√(1-t²)dt

所以，∫[0→π/2]f(sinx)dx = ∫[0→π/2]f(cosx)dx.

根据上述结论，∫[0→π/2] sin²x dx = ∫[0→π/2] cos²x dx，并且
∫[0→π/2] sin²x dx + ∫[0→π/2] cos²x dx = ∫[0→π/2] 1 dx = π/2，
所以∫[0→π/2] sin²x dx = ∫[0→π/2] cos²x dx = π/4.

Answer 2

好办，但是没有软件。别的方法你看得懂吗？