Question

问一道数学题

有12个一模一样的球，其中有一个球跟其他的球重量不相等，现在要求用天平称3次，找出那个重量不相等的球（请分类讨论）

拜托大家了，这道题已经困扰我一个星期了，我实在是无能为力啊……
要写出解答思路，最好完整点，好的话再加分……
这题就是不分轻重的，不然这题也没有那么难……

3楼的我看了，第一次称的时候就有点小问题，因为不知道轻重，因此如果天平不平衡，那么那个球就有可能在第一或者是第二堆中，根本无法确定啊，这么一来，天平就不止用3次了……

还有，这题是不能用假设的，就是一次性确定那个球

Answer 1

方法共有13种，我帮楼主分析出两种最简便的：
1、由于不知道异常球到底是轻是重，因此不论怎么分起来称，都会有三种不同的结果，即左边的重量重于、轻于或者等于右边的重量，为了做到 称三次就能把这个不合格的球找出来，必须把球分成三组(各为四只球)。现在，我们为了解题的方便，把这三组球分别编号为 A组、B组、C组。

首先，选任意的两组球放在天平上称。例如，我们把A、B两组放在天平上称。这就会出现两种情况:

第一种情况，天平两边平衡。那么，不合格的坏球必在c组之中。

其次，从c组中任意取出两个球 (例如C1、C2)来，分别放在左右两个盘上，称第二次。这时，又可能出现两种情况:

1·天平两边平衡。这样，坏球必在C3、C4中。这是因为，在12个球中，只有一个是不合格的坏球。只有C1、C2中有一个是坏球时，天平两边才不平衡。既然天平两边平衡了，可见，C1、C2都是合格的好球。

称第三次的时候，可以从C3、C4中任意取出一个球(例如C3)， 同另一个合格的好球(例如C1)分别放在天平的两边，就可以推出结果。这时候可能有两种结果:如果天平两边平衡，那么，坏球必是C4;如果天平两边不平衡，那么，坏球必是C3。

2·天平两边不平衡。这样，坏球必在C1、C2中。这是因为，只有C1、C2中有一个是坏球时，天平两边才不能平衡。这是称第二次。

称第三次的时候，可以从C1、C2中任意取出一个球(例如C1)， 同另外一个合格的好球(例如C3)，分别放在天平的两边，就可以推出结果。道理同上。

以上是第一次称之后出现第一种情况的分析。

第二种情况，第一次称过后天平两边不平衡。这说明，c组肯定都是合格的好球，而不合格的坏球必在A组或B组之中。

我们假设:A组 (有A1、A2、A3、A4四球)重，B组(有B1、B2、B3、B4四球)轻。这时候，需要将重盘中的A1取出放在一旁，将A2、A3取出放在轻盘中，A4仍留在重盘中。同时，再将轻盘中的B1、 B4取出放在一旁，将B2取出放在重盘中，B3仍留在轻盘中，另取一个标准球C1也放在重盘中。经过这样的交换之后，每盘中各有三个球: 原来的重盘中，现在放的是A4、B2、C1，原来的轻盘中，现在放的是A2、A3、B3。

这时，可以称第二次了。这次称后可能出现的是三种情况:

1·天平两边平衡。这说明A4B2C1=A2A3B3，亦即说明，这六只是好球，这样，坏球必在盘外的A1或B1或B4之中。已知A盘重于B盘。所以，A1或是好球，或是重于好球;而B1、B4或是好球，或是轻于好球。

这时候，可以把B1、B4各放在天平的一端，称第三次。这时也可能出现三种情况:(一)如果天平两边平衡，可推知A1是不合格的坏球，这是因为12只球只有一只坏球，既然B1和B4重量相同，可见这两只球是好球，而A1为坏球;(二)B1比B4轻，则B1是坏球;(三) B4比B1轻，则B4是坏球，这是因为B1和B4或是好球，或是轻于好球，所以第三次称实则是在两个轻球中比一比哪一个更轻，更轻的必是坏 球。

2·放着A4、B2、C1的盘子(原来放A组)比放A2、A3、B3的盘子(原来放B组)重。在这种情况下，则坏球必在未经交换的A4或B3之中。这是因为已交换的B2、A2、A3个球并未影响轻重，可见这三只球都是好球。

以上说明A4或B3这其中有一个是坏球。这时候，只需要取A4或B3同标准球C1比较就行了。例如，取A4放在天平的一端，取C1放在天平的另一端。这时称第三次。如果天平两边平衡，那么B3是坏球; 如果天平不平，那么A4就是坏球 (这时A4重于C1)。

3.放A4、B2、C1的盘子(原来放A组)比放在A2、A3、B3的盘 子(原来放B组)轻。在这种情况下，坏球必在刚才交换过的A2、A3、B23球之中。这是因为，如果A2、A3、B2都是好球，那么坏球必在A4或B3之中，如果A4或B3是坏球，那么放A4、B2、C1的盘子一定 重于放A2、A3、B3的盘子，现在的情况恰好相反，所以，并不是A2、A3、B2都是好球。

以上说明A2、A3、B2中有一个是坏球。这时候，只需将A2同A3相比，称第三次，即推出哪一个是坏球。把A2和A3各放在天平的一端 称第三次，可能出现三种情况:(一)天平两边乎衡，这可推知B2是坏球;(二)A2重于A3，可推知A2是坏球;(三)A3重于A2，可推知A3是坏球。

根据称第一次之后，出现的A组与B组轻重不同的情况，我们刚才假设A组重于B组，并作了以上的分析，说明在这种情况下如何推论哪一个球是坏球。如果我们现在假定出现的情况是A组轻于B组，其推理过程同上。
2、相应三次称量两边的放法：
左边5，7，9，11 ：右边6，8，10，12；
左边2，9，10，12：右边3，4，8，11；
左边1，4，11，12：右边3，6，7，9 。
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1号球，且重 －平、平、左 1号球，且轻 －平、平、右
2号球，且重 －平、左、平 2号球，且轻 －平、右、平
3号球，且重 －平、右、右 3号球，且轻 －平、左、左
4号球，且重 －平、右、左 4号球，且轻 －平、左、右
5号球，且重 －左、平、平 5号球，且轻 －右、平、平
6号球，且重 －右、平、右 6号球，且轻 －左、平、左

7号球，且重 －左、平、右 7号球，且轻 －右、平、左
8号球，且重 －右、右、平 8号球，且轻 －左、左、平
9号球，且重 －左、左、右 9号球，且轻 －右、右、左
10号球，且重－右、左、平 10号球，且轻－左、右、平
11号球，且重－左、右、左 11号球，且轻－右、左、平
12号球，且重－右、左、左 12号球，且轻－左、右、右

Answer 2

若轻(若重，思路一样)，解题思路如下：

先把这12个球分成四堆，每堆有3个球。
第一次称，然后取出其中的两堆，放在天平上，如果天平是平衡的，那么重量不同的球在第三堆里面，如果天平不平衡，那么重量不同的球就在其中的轻一堆当中的。
若相等：
是第一次称，把范围缩小到了4个球当中。编号为1，2，3，4球
第二次称，取出其中的1，2球称，如果平衡，那么重量不同的球在另外两个里面。取1，2球的两个球的任意一个，和3球称，如果平衡，那么重量不同的是4号球，如果不平衡，3在上，重量不同的是3号球。

如不相等：
如果是1，2球不平衡，那么取轻和3号球称，如果平衡了，那么2号是重量不同，如果不平衡，那么1号重量不同。

你设一种不就行了！！

Answer 3

这个简单
既然没说轻重 我们可以先假设那个球比其它球重

把12个球分成2份 每份6个 然后放在天平上称（第一次称） 把重的一组拿出来在分成2份 每份3个 放天平上称（第二次称） 再把重的一组拿出来 分成3份 每份1个 在拿出任意的两个球称量（第三次称） 如果天平平衡 则说明那个质量不同的球是没有称球 如果不平衡则是重的那个

现在再假设那个球比其它球轻

把12个球分成两份 每份6个 然后放在天平上称（第一次称） 把轻的一组拿出来分成两份，每份3个 再放天平上称（第二次称） 再把轻的一组拿出来分成三份，每份1个 取任意两份放天平上称（第三次称）如果天平平衡则说明那个质量不同的球是那个没有称的球 如果不平衡则是轻的那个

说的有点乱 不过应该不会影响你看吧

Answer 4

第1步 .12各球分为4组,
(其一)拿其两组称,若平衡那不平衡球就在另两组中.
(其二)拿其两组称,若不平衡就在这两组中
第2步 .有不平衡球的两组的6个球分为3组,
(其一)拿其中两组称,若平衡那不平衡球就在剩下的两个球中.
(其二)拿其中两组称,若不平衡就在这两组中
第3步 .
(其一)在用前10个合格球中的一个与其中剩下的两个球中的一个称,若平衡那跟其他的球重量不相等的球就是最后的一个.
(其二)

Answer 5

其中有个球重量不相等这个条件是不行的，必须是比普通的球重或者轻。
具体思路如下：

将这12个球分成四堆，每堆有3个球。
第一次称，然后取出其中的两堆，放在天平上，如果天平是平衡的，那么重量不同的球在第三堆里面，如果天平不平衡，那么重量不同的球就在其中的一堆当中的。
这样可以知道重量不同的球在哪一堆当中，这是第一次称，把范围缩小到了4个球当中。编号为1，2，3，4球
第二次称，取出其中的1，2球称，如果平衡，那么重量不同的球在另外两个里面。取1，2球的两个球的任意一个，和3球称，如果平衡，那么重量不同的是4号球，如果不平衡，重量不同的是3号球。
如果是1，2球不平衡，那么取任意一个（比如1号）和3号球称，如果平衡了，那么2号是重量不同，如果不平衡，那么1号重量不同。
解答如上。