Question

f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界

充分性：反证法，假设f(x)在X上没有上界或下界。则：存在某数a，当x->a时，f(a)->∞，则|f(a)|->+∞，则不存在一个A，使得任意的x∈X都有|f(x)|<A，这与函数f(x)在X上有界矛盾。所以，假设不成立，f(x)在X上即有上界又有下界。

必要性：设f(x)在X上的上界为A，下界为B。设C＝max{|A|，|B|}，则任意的x∈X都有|f(x)|<C，所以函数f(x)在X上必有界

这是别人证明的过程，我的问题是，我理解的是上述过程充分性和必要性颠倒了，请问是我对还是证明对
看了三个回答，我可能理解误区太深了，我还是觉得上述证明的必要性所述应该属于充分性的，哪位能帮着说明白点。。。谢谢了
还有就是：f(x)有界是f(x)既有上界又有下界的充分必要条件吗？？？

Answer 1

原题错了，你的理解是对的。

f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界
命题A：f(x)在X上有界，
命题B：f(x)在X上既有上界又有下界，
要证命题B是命题A的充分必要条件，充分性命题B蕴含命题A，必要性命题A蕴含命题B。
充分性，由B推出A，由“f(x)在X上既有上界又有下界” 推出“f(x)在X上有界”。然而原题的证明恰搞反了，如果用反证，只能假设“f(x)在X上无界”（否定A命题）去推出与“f(x)在X上既有上界又有下界”（B命题）的矛盾，而不是否定B命题，推出与A命题矛盾，故原题错了，你的理解是对的。
必要性也一样搞反了，不一一分析了。

Answer 2

当然是证明对啊，题意充分性是指f(x)在X上有界能够推出f(x)在X上既有上界又有下界，必要性是指f(x)在X上既有上界又有下界能够推出f(x)在X上有界。

Answer 3

原来的是对的 充分性就是在有(它在X上既有上界又有下界)这个条件的情况推嘛..(所以 原来人家用反的就证没有) 后面也一样 必要性就是说明后面的是前面的必要条件 也就是前面的推出后面的 所以题设是前面的

Answer 4

必要性是从左往右,充分性是从右往左(A的必要条件是B,意思是A能推出B,A的充分条件是B,意思是B能推出A)

PS:这句话不对:假设f(x)在X上没有上界或下界。则：存在某数a，当x->a时，f(a)->∞，则|f(a)|->+∞(反例:设X=(0,+∞),f(x)=x,很显然f(x)在X上无上界,但是你找不到这个a)

这个结论是正确的,只要用定义就能简单地说明了:如果f(x)有界,则存在C>0,使得|f(x)|<C,则C是f(x)的上界,-C是f(x)的下界
反之,设f(x)在X上的上界为A，下界为B。取C＝max{|A|，|B|}，则任意的x∈X都有|f(x)|<C

Answer 5

这个可能是你的理解误区，有条件——结论是必要性证明，有结论——条件是充分性证明，这个是和字面颠倒的，证明是对的