Question

已知a+b+c=1,证：a*a+b*b+c*c>=1/3

Answer 1

可以用科西不等式做，(a^2+b^2+c^2)(1^2+1^2+1^2)>=(a+b+c)^2=1
3(a^2+b^2+c^2)>=1
a^2+b^2+c^2>=1/3
或者这样，∵a+b+c=1，∴a=1-b-c,
∴a^2+b^2+c^2=(1-b-c)^2+b^2+c^2=2b^2+(2c-2)b+2c^2-2c+1
设f(b)=a^2+b^2+c^2-1/3=2b^2+(2c-2)b+2c^2-2c+2/3,
就是看成是关于b的函数
则△=-12c^2+8c-4/3<=0, ∴f(b)>=0, ∴a^2+b^2+c^2>=1/3.

Answer 2

∵a+b+c=1，∴a=1-b-c,
∴a^2+b^2+c^2=(1-b-c)^2+b^2+c^2=2b^2+(2c-2)b+2c^2-2c+1
设f(b)=a^2+b^2+c^2-1/3=2b^2+(2c-2)b+2c^2-2c+2/3,
就是看成是关于b的函数
则△=-12c^2+8c-4/3<=0, ∴f(b)>=0, ∴a^2+b^2+c^2>=1/3.