Question

用数学归纳法证明1/2∧2+1/3∧2+...+1/n∧2<(n-1)/n

如题

Answer 1

简单说一下(应该有n>=2这个条件吧)
主要就是 当n=k时 1/k^2 <[1/(k-1)]*[1/k]=[1/（k-1)]-1/k(简单放缩)
也就是1/2^2 < 1-1/2
1/3^2 < 1/2-1/3
1/4^2 < 1/3-1/4
依次写下去 最后1/n^2 < 1/(n-1)-1/n
然后累加 就得出啦
（以上只是思路，过程比较死板，照模式写下来就好了 呵呵）

Answer 2

当n=2时
(左边) = 1/2^2 = 1/4
(右边) = (2-1)/2 = 1/2
(左边) < (右边)

假设 n=k 的时候该式是正确的，
A: 1/2^2 + 1/3^2 + ... + 1/k^2 < (k-1)/k
在式子的两边都加上 1/(k+1)^2 ，有上面的假定，所以下面的式子在假定下也是正确的。
B: 1/2^2 + 1/3^2 + ... + 1/k^2 + 1/(k+1)^2 < (k-1)/k + 1/(k+1)^2

k/(k+1) - {(k-1)/k + 1/(k+1)^2}
=1/{k(k+1)^2}
>0
也就是说
C: {(k-1)/k + 1/(k+1)^2} < k/(k+1)

把C式带入到B式的右边可得出D式，
D: 1/2^2 + 1/3^2 + ... + 1/k^2 + 1/(k+1)^2 < k/(k+1)

假设n=k是对的时候，n=k+1也是对的。所以n=>2的时候，改式成立。