Question

一道关于复数的数学题（相当相当急啊~~~）

复数z满足4小于等于 z+16/z 小于等于10，求复数z在复平面内对应的点Z的轨迹

Answer 1

设Z=X+iY，其中X、Y是实数，则
Z+16/Z=(X+iY)+16/(X+iY)=(X+iY)+16(X-iY)/(X^2+Y^2)
=[X+16X/(X^2+Y^2)]+i[Y-16Y/(X^2+Y^2)]
由4<=Z+16/Z<=10知，Z+16/Z是实数，所以
Y-16Y/(X^2+Y^2)=0 ==> Y=0 或 X^2+Y^2=16
按题目的意思应该Z不是实数，所以Y=0舍去，∴X^2+Y^2=16
Z+16/Z=X+16X/(X^2+Y^2)=2X
（1）|Z|=√(X^2+Y^2)=√16=4
（2）由4<=Z+16/Z<=10 ==> 4<=2X<=10 ==> 2<=X<=5
所以复数Z对应点P的轨迹是：圆X^2+Y^2=16在直线X=2的右边部分，用复数形式表示是：圆|Z|=4（Re(Z)>=2）
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如果题目里Z可以是实数，则上面解答中Y=0不要舍去，此时
4<=Z+16/Z<=10就是4<=X+16/X<=10，其中X>0，解不等式组
X+16/X>=4 ==> X^2-4X+16>=0 ==> 对一切X>0
X+16/X<=10 ==> X^2-10X+16=0 ==> 2<=X<=8
不等式组的解是：2<=X<=8
（1）|Z|=|X|，所以2<=|Z|<=8；
（2）Z的轨迹是Y=0 (2<=X<=8)，用复数形式表示为：
Im(Z)=0 （2<=Re(Z)<=8）

上面两种情形综合起来就是最完整的解答，即
（1）2<=|Z|<=8；
（2）轨迹是圆X^2+Y^2=16在直线X=2的右边部分与X轴上从X=2到X=8的线段。

Answer 2

设z=x+yi
z+16/z=((x+yi)^2+16)/(x+yi)
=((x^2+y^2)(x+yi)+16(x-yi))/(x^2+y^2) //(分母实数化)
∵4≤z+16/z≤10 即 z+16/z为实数
∴分子的虚数部分为0 即y(x^2+y^2-16)=0 则y=0或x^2+y^2-16=0

若 x^2+y^2-16=0 则z+16/z=2x(化简过程自己来)
那么 2≤x≤5,轨迹为x^2+y^2=16的圆上x≥2的圆弧

若 y=0 则 z+16/z=x+16/x 解得 2≤x≤8(过程自己算)
即 y=0,x∈[2,8]的线段