Question

七年级数学全等三角形竞赛题

要难的，竞赛题。最好是全等三角形。不要网址哦。附带提示和答案。如果答案好，我再加分。各位朋友，帮帮忙
多给几题啦，谢谢 !!要图啊！不给图没法做

Answer 1

已知BM=MC,角ABC=两倍角C，AD平分角BAC，角DFM=90°。求证：BE=1/2BD

1．本题主要考察出现中点、垂线及角平分线时辅助线的做法。观察图形可知，我们可以构造等腰三角形，将已知的条件集中到一起，从而可以作出辅助线：延长BE至G，使EG=BE，连接CG、GD，延长AF交GC于H。利用这些新的条件我们可以找到线段之间的等量关系。

2．对于有中点、垂线及角平分线时辅助线的作法，一般有：①构造中位线；②构造对称的图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件，本题中我们延长BE至G，使EG=BE，连接CG、GD，延长AF交GC于H，结合已知条件得到△BDG是等腰三角形，请你思考是用了哪种作法。

3．在出现中点、垂线及角平分线的问题中，中位线和相似形的相关知识往往是解题的关键所在，这也是我们必须掌握的内容。 

解：

Answer 2

在正方形ABCD中，M是AB的中点，MN垂直MD，BN平分角CBE。
求证：MD=MN。（条件里的E是AB延长线上的一点。）

证明：分别连接DN和DB。
∵DB是正方形的对角线
∴∠DBA=45°（正方形对角线平分各组对角，且角度值都为45°）
∵BN平分∠CBE
∴∠NBE=45°
∴∠DBN=90°
∵DM⊥MN
∴∠DMN=90°
∴D、M、B、N四点共圆 （同斜边的直角三角形的各顶点共圆）
∴∠MDN=∠NBE=45° （圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角）
∵∠DMN=90°
∴△DMN是等腰直角三角形
∴MD=MN

总结一下：
1．本题主要利用四点共圆的知识来解决问题的。观察图形可以作出辅助线：分别连接DN和DB。利用新的条件将要求证的结论和已知联系了起来。
2．证明四点共圆的方法有：
（1）到一定点等距离的n个点在同一个圆上；
（2）同斜边的直角三角形的各顶点共圆；
（3）同底同侧相等角的三角形的各顶点共圆；
（4）如果一个四边形的一组对角互补，那么它的四个顶点共圆；
（5）如果一个四边形的外角等于它的内对角，那么它的四个顶点共圆；
（6）四边形ABCD的对角线相交于点P，若PA_*PC=PB_*PD，则它的四个顶点共圆；
（7）四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线相交于点P，若PA_*PB=PC_*PD，则它的四个顶点共圆。
上述关于七种判定四点共圆的基本方法的逆命题也是成立的。
=================================================================
``
2.已知三角形ABC试等边三角形，延长BC到D，延长BA到E,使AE＝BD连结CE,DE，试说明CE=DE
证明：延长BD到F，使BF=BE；连接EF
∵△ABC是等边三角形
∴∠B=60°
∵BF=BE
∴△EBF是等边三角形
∴BE=FE,∠B=∠F=60°
∵DF=BF-BD=BE-AE=AB=BC
∴在△EBC和△EFD中
BE=FE, ∠B=∠F, BC=DF
∴△EBC≌△EFD(SAS)
∴CE=DE
===========================================================
3.BD.CE是三角形ABC的角平分线，AF垂直与BD AH垂直与CE求证：FH平行与BC`
证明：延长AF，交BC于M；延长AH，交BC于N
∵BD平分∠ABC
∴∠ABD=∠CBD
∵AF⊥BD
∠AFB=∠MFB=90°
在△ABF和△MBF中
∠ABF=∠MBF, BF=BF, ∠AFB=∠MFB
∴△ABF≌△MBF(ASA)
∴AF=MF
∴F是AM的中点
同理,H是AN的中点
∴FH是△AMN的中位线
∴FH//MN(三角形的中位线平行于第三边)
∵M、N在线段BC上
∴FH//BC
===================================================================
4.已知BE是三角形ABC的中线，D是BC上的一点，且AD交BE于点F，若BD＝dF试判断AF与BC的关系

证明：延长BE到G，使GE=BE；连接AG
∵BD＝DF
∴∠FBD=∠BFD=∠AFG
在△BCE和△GAE中
BE=GE, ∠BEC=∠GEA, CE=AE
∴△BCE≌△GAE(SAS)
∴BC=GA,∠G=∠EBC
∴∠G=∠AFG
∴AF=AG
∴AF=BC

Answer 3

1.延长DM、AB交于E，则∠E=∠CDM=∠ADM，得到AD=AE。而DM=ME，所以AM评分∠DAB
2.延长AM、CB交于D，容易证明△AMB≌△DMB，得到AB=DB。延长AN、BC交于E，同样得到AC=EC。MN是△ADE中位线，所以MN=(a+b+c)/2
3.在CA上截取CE=CD，连接DE。证明△DCB≌△DEA，进而得到结论
4.这个题目看不清楚
5.延长FD到G使得DG=DF，连接BG，连接GE、EF
易证△FDC≌△GDB
由△AEB∽△AFC，得到EA/AF=EB/FC=EB/BG
且∠EAF=360°-∠EAB-∠FAC-∠BAC=∠EBC+∠FCB=∠EBC+∠GBC=∠EBG
所以△EAF∽△EBG
所以∠FEA=∠BEG
所以∠FEG=∠AEB=90°
而ED是△FEG中线，所以ED=FG/2=DF

Answer 4

1.三角形中边长关系的证明
【例1】 如下图所示，∠ACB=∠ADB=90°，AC=AD，E为AB上任意一点，求证：CE=DE.

【分析】 我们仔细观察图形与条件，想到通过证明两个三角形全等来说明两条线段相等，那么证明哪两个三角形全等呢？因为已知了AC=AD，AE是公共边，我们只需知道∠1＝∠2就可以了.由于已知条件中还有∠ACB=∠ADB=90°的条件，这样我们马上想到通过证明两个直角三角形全等来证明∠1＝∠2.
证明： 在Rt△ABC和Rt△ABD中，AB=AB，AC=AD，
∴ Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）.
∴ ∠1=∠2.
在△ACE和△ADE中，

∴ △ACE≌△ADE（SAS）.
∴ CE=DE.
【例2】如图所示，在△ABC中，延长AC边上的中线BE到G，使EG=BE，延长AB边上的中线CD到F，使DF=CD，连接AF、AG.

（1）按要求补全图形，并标注字母；
（2）AF与AG的大小关系如何？证明你的结论.
【分析】 根据题意很容易画出图形.再由点D是AB、CF的中点，点E是BG、AC的中点，我们很容易判断△ADF≌△BDC，△AGE≌△CBE，这样我们就能看出AF与AG的关系是相等了.
解：（1）补全图形，如图所示.

（2）AF与AG的大小关系为：AF=AG.
证明：在△ADF和△BDC中，

∴ △ADF≌△BDC（SAS），
∴ AF=BC. 同理可证：
△AGE≌△CBE（SAS）.
∴ AG=BC， ∴ AF=AG.
2.三角形中角度关系的证明
【例3】 如图所示，已知AD平分∠BAC，EF垂直平分AD，交BC延长线于F，连接AF，求证：∠B=∠CAF.

【分析】 由EF垂直平分AD我们能发现∠ADF＝∠FAD，而要证的结论中有∠CAF，∠CAF=∠DAF-∠DAC，想到这里结论就很容易证明了.
证明：∵ EF垂直平分AD，
∴ FA=FD，
∴ ∠FAD=∠ADF（等边对等角）.
∵ ∠B=∠ADF-∠BAD，∠CAF=∠FAD-∠DAC，∠BAD=∠DAC，
∴ ∠B=∠CAF.
【例4】 如图所示，等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE，求证：AE‖BC.

【分析】 要证AE‖BC，我们显然想到要找相等的同位角、内错角或互补的同旁内角，通过观察，我们自然想到找∠EAC和∠ACB这对内错角相等.
证明：∵ △ABC和△EDC都是等边三角形，
∴ ∠ECD=∠ACB=60°.
∵ ∠ECD-∠ACD=∠ACB-∠ACD，即∠ACE=∠BCD.
又∵ AC=BC，EC=DC，
∴ △ACE≌△BCD.
∴∠EAC=∠B=60°.
∴∠EAC=∠ACB.
∴ AE‖BC.
【例5】 如图所示，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O为BC中点，如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动中，保持AN=BM，请你判 断△OMN的形状，并证明你的结论.

【分析】 由于AN=BM，我们会自觉得想到证有关线段AN、BM、ON、OM的三角形具有全等关系，这样我们想到连接AO，△NAO≌△MBO就很容易得出.我们可以得出△OMN是等腰三角形.想到这一步我们要进一步考虑它是否是等边三角形或等腰直角三角形，由△NAO≌△MBO得出的角度关系不难发现∠NOM是直角.
解：△OMN为等腰直角三角形.理由如下：
∵ AB=AC，∠BAC=90°，
∴ ∠B=∠C=45°.
∵ O是BC的中点，
∴ ∠NAO=∠OAB=∠CAB=×90°= 45°，∠AOB=90°.
∴ ∠OAB=∠OBA .
∴ OA=OB.
在△NAO和△MBO中，

∴△NAO≌△MBO，
∴ ON=OM，∠1=∠2，
∵ ∠2+∠3=90°，
∴ ∠1+∠3=90°.即∠NOM =90°.
∴ △OMN为等腰直角三角形.

Answer 5

有关三角形全等的问题
△ABC中,E是BC边的中点,DE⊥BC于E,交角BAC的平分线AD于D,过D作DM⊥AB于M,作DN⊥AC于N,试证明:BM=CN
http://zhidao.baidu.com/question/72356114.html

我的证明：
连接BD，CD
因为 E是BC边的中点，DE⊥BC
所以 BD=CD
因为 AD平分角BAC，DM⊥AB,DN⊥AC
所以 DM=DN，角BMD=角CND=90度
因为 BD=CD
所以 三角形BDM全等于三角形CND
所以 BM=CN