Question

如图,正方形ABCD中,E为BC上一点,AF平分∠DAE交CD于F,求证:AE=BE+DF

Answer 1

延长CD至M，使DM=BE，连接AM
证明三角形ABE全等于ADM
得到AE=AM，FM=BE+DF,角BAE=角DAM
角AFD=角EAF+角BAE=角FAD+角BAE=角FAD+角DAM
角FAM=角FAD+角DAM

所以角AFD=角FAM
所以FM=AM
所以AE=BE+DF

Answer 2

小补一下楼上的，应该是这样滴~
延长CD至M，使DM=BE，连接AM
∵正方形ABCD
∴∠ADM=∠ABE=90°，AB=AD
∴△ABE≡△ADM（SAS）
∴AE=AM，FM=BE+DF,∠BAE=∠DAM
∵AF是∠DAE的平分线
∴∠AFD=∠EAF+∠BAE=∠FAD+∠BAE=∠FAD+∠DAM
∴∠FAM=∠FAD+∠DAM
∴∠AFD=∠FAM
∴FM=AM
∴AE=BE+DF
大功告成，这个貌似就清楚多了~

Answer 3

证明
将RtΔABE以A点为顶角旋转90度，B→D,E→E'。
即BE=DE',AE=AE'∠BAE=∠DAE'。
因为∠BAF=∠AFE'，∠FAE'=∠FAD+∠DAE'=∠FAE+∠BAE，
所以∠FAE'=∠AFE',故ΔAE'F为等腰三角形，即AE'=FE.
从而AE=AE'=FE'=DE'+DF=BE+DF.证毕。

Answer 4

解：将△ADF绕A点顺时针方向旋转90°，到△ABG的位置，则△ABG≌△ADF．
　　∴　BG＝DF，∠DAF＝∠BAG，
　　∵　∠EAF＝∠DAF，
　　∴　∠BAG＝∠EAF，
　　∵　∠BAG＋∠BAE＋∠EAF＝90°，∠G＋∠BAG＝90°，
　　∴　∠G＝∠BAG＋∠BAE＝∠EAG，
　　则　AE＝GE，∴　AE＝BE＋DF．

Answer 5

将△ABE逆时针旋转90°。使AB边与AD重合，得△ADE'，那么C、D、E'在同一直线上。
∵AF平分∠DAE，∠E'AD=∠EAB∴∠E'AF=∠BAF，
而由AB∥DC知∠BAF=∠E'FA，∴∠E'AF=∠E'FA，△E'AF中E'A=E'F。
式中E'A=AE；E'F=E'D+DF=BE+DF，∴AE=BE+DF。