Question

如图所示，在RT△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,D为BC的中点，CE⊥AD，垂足为E，BF平行与AC，交CE的延长线于点

求证AB垂直平分DF。最好有详细的证明过程哦！！！~
那个是交CE的延长线于点F

Answer 1

已知：Rt△ABC中∠ACB＝90°，AC=BC，CD＝DB，FB‖AC，AD⊥CF。

求证：AB垂直平分DF

证明：∵∠ACB＝90°，Rt△ADC中，∠1＋∠2＝90°，

∵AD⊥CF，在Rt△EDC中，∠3＋∠2＝90°，得：∠1＝∠3。    ①

∵FB‖AC，∠ACB＝90°，∴∠FBC＝90°，得：△FBC是直角△。  ②

∵AC=BC，③

由以上三个式，得：Rt△ADC≌Rt△FBC。

∴CD＝FB，已知CD＝DB，可得：DB＝FB。

由AC=BC、∠ACB＝90°，可得：∠4＝45°，AB是∠CBF平分线。

所以，AB垂直平分DF(等腰三角形中的三线合一定理)。

Answer 2

求证：AB垂直平分DF

证明：∵∠ACB＝90°，Rt△ADC中，∠1＋∠2＝90°，

∵AD⊥CF，在Rt△EDC中，∠3＋∠2＝90°，得：∠1＝∠3。    ①

∵FB‖AC，∠ACB＝90°，∴∠FBC＝90°，得：△FBC是直角△。  ②

∵AC=BC，③

由以上三个式，得：Rt△ADC≌Rt△FBC。

∴CD＝FB，已知CD＝DB，可得：DB＝FB。

由AC=BC、∠ACB＝90°，可得：∠4＝45°，AB是∠CBF平分线。

所以，AB垂直平分DF(等腰三角形中的三线合一定理)。

Answer 3

∵∠BCE+∠ACE=90°，∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠BCE=∠CAE．
∵AC⊥BC，BF∥AC．
∴BF⊥BC．
∴∠ACD=∠CBF=90°，
∵AC=CB，
∴△ACD≌△CBF．∴CD=BF．
∵CD=BD=12BC，∴BF=BD．
∴△BFD为等腰直角三角形．
∵∠ACB=90°，CA=CB，
∴∠ABC=45°．
∵∠FBD=90°，
∴∠ABF=45°．
∴∠ABC=∠ABF，即BA是∠FBD的平分线．
∴BA是FD边上的高线，BA又是边FD的中线，
即AB垂直平分DF．

Answer 4

提供思路：1先求证ADC 与BFC 全等（角角边，注意用上三角形CED）得出BF=BD
2再求证三角形FBD内两三角形全等（利用角FBD=90和角ABC=45并 BF=BD
由边角边得出）