Question

高中数学数列的题

在等比数列{an}中，a1>1,公比q>0.设bn=log2an,b1+b2+b3=6,b1b2b3=0.
(1)求证：{bn}是等差数列；
（2）求{bn}的前n项和Sn{an}的通项an;
(3)比较an与Sn的大小.
(麻烦详细过程，谢谢！！！）

Answer 1

(1)b(n+1)=log2a(n+1) bn=log2an
b(n+1)-bn=log2a(n+1)-log2an=log2(an+1/an)=log2q为常数，符合等差数列定义，所以为等差数列。
（2）由b1+b2+b3=3b2=3log2(a1*q)=6
所以a1*q=4.....(1)
又因为b1b2b3=0
a1>1所以b1不等于0
同理a1*q=4，所以b2不等于0
那么只有b3=log2(a1q^2)=0.....(2)
又q>0,由（1）（2）得q=1/4
a1=16
所以an=16*（1/4）^n-1
Sn=n(b1+bn)/2=n(5-n)
(3)n=1,s1=4,a1=16
n=2,s2=6,a2=4
n=3,s3=6,a3=1
n=4,s4=4,a4=1/4
n>=5,sn<=0,an>0
综上n=1，N>=5 an>sn
n=2.3.4 an<sn

Answer 2

你根据我给你的分析过程继续往下写
因为 bn=log2an 所以 b1=log2a1 b2=log2a2 b3=log2a3
b1+b2+b3=6
log2a1+log2a2+log2a3=6
log2a1a2a3=6
a1a2a3=64
an为等比 a1a2a3=(a2)^3=64 a2=4
b2=log2a2=log2(4)=2
b1b2b3=0 log2a1*2*log2a3=0
log2a1*log2a3=0
a1=a2/q=4/q a3=a2*q=4q
log2(4/q)*log2(4q)=0
[log2(4)-log2(q)]*[log2(4)+log2(q)]=0
[2-log2(q)]*[2+log2(q)]=0
4-[log2(q)]^2=0
log2(q)=2 或者 -2
q=4 或者 1/4
分两种情况讨论
当q=4时 当q=1/4时
an=0.5*4^(n-1) an=8*(1/4)^(n-1)
可以根据an证明bn为等差数列
通过a1 q求sn=[a1(1-q^n)]/(1-q)

Answer 3

if an=a1*q^(n-1)
then bn=log2(a1)+(n-1)log2(q)
b(n+1)-bn=(n-1)log2(q)=const
so {bn}是等差数列

sb1=b1=log2(a1)
sbn=n*log2(a1)+n(n-1)/2*log2(q)
sb3=6 => b2=b1+c=2

if b1=0, then a1=1, q=4, sbn=n(n-1) <= an=4^(n-1)
if b3=0, then q=1/4, a1=16, sbn=17n-n^2 > an=(1/4)^(n+3)

题中：a1>1,所以答案应只有b3=0时的情况。