Question

a＞0,b＞0且a≤b 求证：a≤调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数≤b

回答的好的话，加分
a≤调和平均数 这没证啊 还有 平方平均数≤b

Answer 1

二元的易证，多元的就有点麻烦了。下面给二元的证明，多元的找本竞赛书看吧。
以下设a、b均为正数（这是为了避免分母为0的情况，否则对一些式子非负数也成立）。
基础的，几何和算术：因(a - b)^2 >= 0，即(a + b)^2 - 4ab >= 0，故a + b >= √(4ab) = 2√(ab).
调和与几何：利用上式，有1 / (1/a + 1/b) = ab/(a+b) <= ab / 2√(ab).
算术与平方：因(a^2 + b^2) / 2 - (a/2 + b/2)^2 = (a - b)^2 / 4 >= 0，故√((a^2 + b^2) / 2) >= (a + b)/2.

n元的情况，几何与算术可以用归纳法来证，有一点小技巧；也可以做为其他一些不等式的推论，如排序不等式、Cauchy不等式，Jensen不等式等。另几个也是类似的。其中Jensen不等式是关于凸函数性质的，证明要用到高等数学，不过比较广泛，上面的几个不等式好像都可以用它推出来。要看初等的证明方法还是看竞赛书吧
调和:2 / (1/a + 1/b) = 2ab/(a+b)
2ab/(a+b) 和a同乘a+b 然后可以得到 a^2+ab<2ab
所以a≤调和平均数

平方平均数≤b
两边同平方
(a^2+b^2)/2 b^2
同乘以2
a^2+b^2<2b^2
所以平方平均数≤b

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