Question

已知数列{an}的前n项和Sn=-an-(1/2)^(n-1)+2(n为正整数)

已知数列{an}的前n项和Sn=-an-(1/2)^(n-1)+2(n为正整数)。令bn=2^n*an,求证数列{bn}是等差数列，并求数列｛an｝的通项公式
图在哪

Answer 1

Sn=-an-(1/2)^(n-1)+2
所以 S(n-1)=-a(n-1)-(1/2)^(n-2)+2
相减
Sn-S(n-1)=an=-an-(1/2)^(n-1)+a(n-1)+(1/2)^(n-2)
(1/2)^(n-2)-(1/2)^(n-1)=(1/2)^(n-2)-1/2*(1/2)^(n-2)=(1/2)^(n-2)
2an=a(n-1)+(1/2)^(n-2)
2an-(1/2)^(n-3)=a(n-1)+(1/2)^(n-2)-(1/2)^(n-3)
2[an-(1/2)^(n-2)]=a(n-1)-(1/2)^(n-3)
[an-(1/2)^(n-2)]/[a(n-1)-(1/2)^(n-3)]=1/2
所以an-(1/2)^(n-2)是等比数列，q=1/2

a1=S1=-a1-(1/2)^(1-1)+2=1-a1
a1=1/2
所以a1-(1/2)^(1-2)=1/2-2=-3/2
所以an-(1/2)^(n-2)=（-3/2）*(1/2)^(n-1)=(-3/4)*(1/2)^(n-2)
所以an=(-3/4)*(1/2)^(n-2)+(1/2)^(n-2)

即an=(1/4)*(1/2)^(n-2)=(1/2)^n

bn=2^n*an=1，是常数列
所以bn是等差数列

Answer 2

解:
an=Sn-S(n-1)=-an-(1/2)^(n-1)+a(n-1)+(1/2)^(n-2)=a(n-1)-an+(1/2)^(n-1)
所以 2an-a(n-1)=(1/2)^(n-1)
所以 bn-b(n-1)=2^n*an-2^(n-1)*a(n-1)=2^(n-1)*【2an-a(n-1)】=1（常数）所以数列{bn}是等差数列
又当n=1时，S1=-a1-1+2 所以a1=1/2 所以b1=2*(1/2)=1 所以bn=n
所以an=bn/(2^n)=n/(2^n)

Answer 3

见下图即可：（图片点击放大）