Question

高中数学题 关于基本不等式

1 若x y都大于0且x^2+y^2/2=1 则x×根号下（1+y^2）的最大值为？

2 根号下（x^2+3）+（2/根号下（x^2+3））≥2 命题正确吗？
函数fx=sinx+（1/sinx） （0<x<90°）时的最小值为2 命题正确吗？

3 已知a≥0 b≥0 a+b=1 则根号下（a+1/2）+根号下（b+1/2）的范围是？

4 当0<x<90°时 fx=分子是1+cosx+8sin^2x 分母是sin2x的最小值是？

5 4x+y=30 x y都是正整数 要使得x y的倒数之和最小 则这两个数为？

6 若fx=loga底（x+a/x-4）（a>0 a≠1）的值域为R 求a的范围

尽量要有过程或方法 可以加分

Answer 1

1)
x*√（1+y*y）=√2/2*√(2x*x（1+y*y））<=√2/2*(2x*x+1+y*y)/2.....(1)

x^2+y^2/2=1可得：2x^2+y^2=2故（1）式<=√2/2*3/2=3√2/4
2)
都不对 （x^2+3）+（2/根号下（x^2+3））≥4“=”只有在x^2+3=2/根号下（x^2+3））=2....(2) 时成立，而(2)式显然有x^2+3>=3,故不对；
对于sinx+（1/sinx）=2也是当且仅当sinx=1/sinx=1时才成立，但显然这时没有解的，故也不对。其实这类题可用其他方法求极值，方法很多，这里我说一种比较简单也是我自己常用的一种作参考：这类问题可以通过函数fx=x+a/x，（a>0)的单调性来解，x<-√a或x>√a时单调递增，-√a<x<√a时递减，由此显然可看出两市都没有最大值
3）
√（a+1/2)+√(b+1/2)=√(1*（a+1/2))+√(1*(b+1/2))<=(1+a+1/2)/2+(1+b+1/2)/2=(3+a+b)/2=2;
√（a+1/2)+√(b+1/2)>=√(2√(1/2a))+√(2√(1/2b))....(3）
（3）式“=”当且仅当a=b=1/2时成立，故的（3）>=√（2*√（1/2*1/2）+√（2*√（1/2*1/2）=1,即1<=根号下（a+1/2）+根号下（b+1/2）<=2
4)正在计算，感觉可能题被你打错了，应该是cos2x不是cosx

5）
1/X+1/Y=1/30((4X+Y)/X+(4X+Y)/Y)
=1/30*(5+Y/X+4X/Y)≥1/30*(5+2√4)=3/10
等号当Y/X=4X/Y时成立,即Y=2X,代入4X+Y=30解得
X=5,Y=10
6）
注意值域为r要理解正确，这表明fx能取到所有正数
故令gx=x+a/x-4，则gx的最小值应该小于等于0，因为a>0,
x+a/x>=2√a>4,所以gxmin=2√a-4<=0
得a<=4,
综上知0<a<1∪1<a<=4

Answer 2

1.用x表示y^2，代入
分离，求范围。
2.令t=x^2+3≥3
t+2/t就有最小值（t=2/t是最小）
求出最小值=？，那么就能说明命题的正确性。
下面一个是一样的
令t=sinx 属于〔-1，1〕
3.用a表示b，再就简单了。
4.把上面化简后分离，考虑x，sinx，sin2x范围就行了。
5.1/x+1/y=(x+y)/xy
先用等式左边表示xy，再用x表示y
分离，就行了
6.注：a＞1和0＜a＜1
值域为R，根据图像得出x+a/x-4（整体）的范围。
再求解

Answer 3

1\用均值不等式,答案1
2\不对,无相等的可能.
3\先平方
4\