Question

请教一道数学题（导数）

若函数f（x）=x^3-3x+a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是______
麻烦大家把过程写详细一些谢谢！！

Answer 1

先求f(x)的导函数f'(x)=3x^2-3,得到两个驻点x=1和x=-1,易知他们都是极值点
lim(x→-∞）f(x)=-∞
lim(x→+∞）f(x)=+∞,
f(-1)=a+2
f(1)=a-2
由根的存在定理,即零点定理可知,
(-∞,-1)之间存在零点需满足f(-∞)*f(-1)<0
(-1,1)之间存在零点满足f(-1)*f(1)<0
(1,+∞)之间存在零点满足f(1)*f(+∞)<0
即a+2>0,a+2>a-2(显然),a-2<0
所以-2<a<2

Answer 2

令f'(x)=3x^2-3=0 得 x=1或 x=-1
函数f（x）=x^3-3x+a有三个不同的零点
则f(-1)>0
f(1)<0
即
(-1)^3-3(-1)+a>0
1^3-3*1+a<0
解得-2<a<2

Answer 3

其导数为二次函数，
首先保证二次函数与x轴有两个不同交点，此题中导数为f（x）=3x^2-3
与x轴交点为(-1,0) (1,0)
然后保证当x=-1时，f（x）>0 当x=1时， 即可
即f（-1）>0 f（1）<0
即-2<a<2

Answer 4

求导，得在(,-1),(1,)上增，在(-1,1)上减.跟据极限，在无穷大（小）的时候取无穷大（小），画草图，只需f(-1)大、等于0，f(1)小.等于0就可以了
得到大于等于-2小等于2