已知抛物线y^2=2px(p<0)的准线与x轴交点于M
已知抛物线y^2=2px(p<0)的准线与x轴交点于M(1)若M点的坐标为(-1,0),求抛物线方程(2)若过点M的直线l与抛物线交于P、Q两点,若向量FP·向量FQ=0...
已知抛物线y^2=2px(p<0)的准线与x轴交点于M
(1)若M点的坐标为(-1,0),求抛物线方程
(2)若过点M的直线l与抛物线交于P、Q两点,若向量FP·向量FQ=0(其中F为抛物线的焦点),求直线l的斜率
请给出步骤和答案。谢谢 展开
(1)若M点的坐标为(-1,0),求抛物线方程
(2)若过点M的直线l与抛物线交于P、Q两点,若向量FP·向量FQ=0(其中F为抛物线的焦点),求直线l的斜率
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解:(Ⅰ)由M(-1,0)可知,准线方程为x=-1
∴-p/2=-1,得p=2
所以,抛物线方程为y²=4x.
(Ⅱ)抛物线y²=2px的准线为x=-p/2,故 M(-p/2,0)
设直线l的斜率为k,则其方程为y=k(x +p/2)
代入y²=2px,消掉x,得
ky²-2py+p²k=0
设P(y1²/2p,y1),Q(y2²/2p,y2)
则y1+y2=2p/k,y1·y2=p²
抛物线焦点F(p/2,0),则
向量FP=(y1²/2p -p/2,y1),向量FQ=(y2²/2p -p/2,y2)
所以,向量FP·向量FQ=(y1²/2p -p/2)(y2²/2p -p/2)+y1y2
=y1²y2²/4p² -1/4×(y1²+y2²)+p²/4+y1y2
=(y1y2)²/4p²- 1/4×[(y1+y2)²-2y1y2]+p²/4+y1y2
=p²/4 -p²/k² +p²/2 +p²/4 +p²=2p² -p²/k²=0
整理,得2p²k²=p²
约掉p²,2k²=1
故 k=±(根号2)/2.
【唉,在这里没法打分式和平方,只好这样了,麻烦姐姐凑合着看吧!】
希望小弟的回答对您有帮助O(∩_∩)O~
{楼上的回答不对,第一问和第二问是没有联系的。在第二问中不能利用M(-1,0)这个条件,只能是y²=2px(p>0)。^_^}
∴-p/2=-1,得p=2
所以,抛物线方程为y²=4x.
(Ⅱ)抛物线y²=2px的准线为x=-p/2,故 M(-p/2,0)
设直线l的斜率为k,则其方程为y=k(x +p/2)
代入y²=2px,消掉x,得
ky²-2py+p²k=0
设P(y1²/2p,y1),Q(y2²/2p,y2)
则y1+y2=2p/k,y1·y2=p²
抛物线焦点F(p/2,0),则
向量FP=(y1²/2p -p/2,y1),向量FQ=(y2²/2p -p/2,y2)
所以,向量FP·向量FQ=(y1²/2p -p/2)(y2²/2p -p/2)+y1y2
=y1²y2²/4p² -1/4×(y1²+y2²)+p²/4+y1y2
=(y1y2)²/4p²- 1/4×[(y1+y2)²-2y1y2]+p²/4+y1y2
=p²/4 -p²/k² +p²/2 +p²/4 +p²=2p² -p²/k²=0
整理,得2p²k²=p²
约掉p²,2k²=1
故 k=±(根号2)/2.
【唉,在这里没法打分式和平方,只好这样了,麻烦姐姐凑合着看吧!】
希望小弟的回答对您有帮助O(∩_∩)O~
{楼上的回答不对,第一问和第二问是没有联系的。在第二问中不能利用M(-1,0)这个条件,只能是y²=2px(p>0)。^_^}
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已知抛物线y^2=2px(p>0)的准线与x轴交点于M
(1)若M点的坐标为(-1,0),求抛物线方程
准线方程是x=-p/2,则有-p/2=-1
p=2.
即抛物线方程是y^2=4x
(2)若过点M的直线l与抛物线交于P、Q两点,若向量FP·向量FQ=0(其中F为抛物线的焦点),求直线l的斜率
M(-1,0)
设直线L斜率是k,则方程是y=k(x+1)=kx+k
代入y^2=4x:
(kx+k)^2=4x
k^2x^2+2k^2x+k^2=4x
k^2x^2+(2k^2-4)x+k^2=0
x1+x2=-(2k^2-4)/k^2,x1x2=k^2/k^2=1
y1+y2=k(x1+x2)+2k=-(2k^2-4)/k+2k=(4-2k^2+2k^2)/k=4/k
y1y2=(kx1+k)(kx2+k)=k^2(x1+1)(x2+1)=k^2[x1x2+(x1+x2)+1]
可得F坐标(1,0)
向量FP=(x1-1,y1),向量FQ=(x2-1,y2)
若向量FP·向量FQ=0,则FP*FQ=0
(X1-1)(x2-1)+y1y2=0
x1x2-(x1+x2)+1+k^2[x1x2+(x1+x2)+1]=0
x1x2(1+k^2)+(k^2-1)(x1+x2)+1+k^2=0
1*(1+k^2)+(k^2-1)(4-2k^2)/k^2+1+k^2=0
解得k^2=1/2
即k=土根号2 /2
(1)若M点的坐标为(-1,0),求抛物线方程
准线方程是x=-p/2,则有-p/2=-1
p=2.
即抛物线方程是y^2=4x
(2)若过点M的直线l与抛物线交于P、Q两点,若向量FP·向量FQ=0(其中F为抛物线的焦点),求直线l的斜率
M(-1,0)
设直线L斜率是k,则方程是y=k(x+1)=kx+k
代入y^2=4x:
(kx+k)^2=4x
k^2x^2+2k^2x+k^2=4x
k^2x^2+(2k^2-4)x+k^2=0
x1+x2=-(2k^2-4)/k^2,x1x2=k^2/k^2=1
y1+y2=k(x1+x2)+2k=-(2k^2-4)/k+2k=(4-2k^2+2k^2)/k=4/k
y1y2=(kx1+k)(kx2+k)=k^2(x1+1)(x2+1)=k^2[x1x2+(x1+x2)+1]
可得F坐标(1,0)
向量FP=(x1-1,y1),向量FQ=(x2-1,y2)
若向量FP·向量FQ=0,则FP*FQ=0
(X1-1)(x2-1)+y1y2=0
x1x2-(x1+x2)+1+k^2[x1x2+(x1+x2)+1]=0
x1x2(1+k^2)+(k^2-1)(x1+x2)+1+k^2=0
1*(1+k^2)+(k^2-1)(4-2k^2)/k^2+1+k^2=0
解得k^2=1/2
即k=土根号2 /2
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(1)准线方程是x=-p/2,则有-p/2=-1
所以p=2.
则 抛物线方程是y^2=4x
(2)K=(根号2)/2或者-(根号2)/2
解:设点P(X1,Y1) 点Q(X2,Y2)
因为 点F为(p/2,0)
所以 向量FP=(X1-p/2,Y1) 向量FQ=(X2-p/2,Y2)
则 向量FP·向量FQ=X1X2-p/2(X1+X2)+p^2/4+Y1Y2=0 (1)
因为 该直线过点M(-p/2,0),则可得该直线为Y=K(X+p/2)
代入 y^2=2px中,整理 得
K^2*X^2+(K^2*P-2P)X+(PK)^2/4=0
根据韦达定理 可得
X1+X2=(K^2*P-2P)/(-K^2) (2)
X1*X2=(PK)^2/4K^2 (3)
同理
联立 Y=K(X+p/2)
y^2=2px
消去X得
Y^2-2PY/K+P^2=0
根据韦达定理 可得
Y1*Y2=P^2 (4)
将(2)(3)(4)代入(1)中
解得
K=(根号2)/2或者-(根号2)/2
希望以上的解答对您有所帮助。
楼主要是还有什么问题,可以百度HI呼我,我将在线为你解答。
所以p=2.
则 抛物线方程是y^2=4x
(2)K=(根号2)/2或者-(根号2)/2
解:设点P(X1,Y1) 点Q(X2,Y2)
因为 点F为(p/2,0)
所以 向量FP=(X1-p/2,Y1) 向量FQ=(X2-p/2,Y2)
则 向量FP·向量FQ=X1X2-p/2(X1+X2)+p^2/4+Y1Y2=0 (1)
因为 该直线过点M(-p/2,0),则可得该直线为Y=K(X+p/2)
代入 y^2=2px中,整理 得
K^2*X^2+(K^2*P-2P)X+(PK)^2/4=0
根据韦达定理 可得
X1+X2=(K^2*P-2P)/(-K^2) (2)
X1*X2=(PK)^2/4K^2 (3)
同理
联立 Y=K(X+p/2)
y^2=2px
消去X得
Y^2-2PY/K+P^2=0
根据韦达定理 可得
Y1*Y2=P^2 (4)
将(2)(3)(4)代入(1)中
解得
K=(根号2)/2或者-(根号2)/2
希望以上的解答对您有所帮助。
楼主要是还有什么问题,可以百度HI呼我,我将在线为你解答。
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