Question

a>0,b>0,且a≠b,试比较a^a*b^b与a^b*b^a的大小.

作差法怎么比较?
其他方法呢?

http://zhidao.baidu.com/question/65250545.html 请问最佳答案的第一步是怎么得出来的?

谢谢.

Answer 1

当a<b

a^a*b^b-a^b*b^a
=a^a*b^a*b^(b-a)-a^a*a^(b-a)*b^a
=a^a*b^a*[b^(b-a)-a^(b-a)]
很明显a^a>0,b^a>0,而且b>a所以[b^(b-a)-a^(b-a)]>0
所以a^a*b^b-a^b*b^a>0
所以a^a*b^b>a^b*b^a

a>b

a^a*b^b-a^b*b^a
=a^a*b^a*b^(b-a)-a^a*a^(b-a)*b^a
=a^a*b^a*[b^(b-a)-a^(b-a)]
很明显a^a>0,b^a>0,而且b<a所以[b^(b-a)-a^(b-a)]>0
所以a^a*b^b-a^b*b^a>0
所以a^a*b^b>a^b*b^a

Answer 2

最简单的应该是作商比较，见下图：

Answer 3

假设a>b>0（其实哪个大情况一样，就举一种了）
a^a*b^b-a^b*b^a
=a^b*b^b*[a^(a-b)-b^(a-b)]
同指数的看下面
∵a>b>0
∴a^a*b^b>a^b*b^a

其他的还没想到。

Answer 4

证法一：
a^a*b^b/(a^b*b^a)=(a^a/a^b)*(b^b/b^a)=a^(a-b)*b^(b-a)
=(a/b)^(a-b)