Question

勾股定理的证明方法及图

急 急

Answer 1

利用相似三角形证明
有许多勾股定理的证明方式，都是基于相似三角形中两边长的比例。
设ABC为一直角三角形, 直角于角C（看附图）. 从点C画上三角形的高，并将此高与AB的交叉点称之为H。此新三角形ACH和原本的三角形ABC相似，因为在两个三角形中都有一个直角（这又是由于“高”的定义），而两个三角形都有A这个共同角，由此可知第三只角都是相等的。同样道理，三角形CBH和三角形ABC也是相似的。这些相似关系衍生出以下的比率关系：
因为BC=a,AC=b,AB=c
所以a/c=HB/a and b/c=AH/b
可以写成a*a=c*HB and b*b=C*AH
综合这两个方程式，我们得到a*a+b*b=c*HB+C*AH=C*(HB+AH)=c*c
换句话说:a*a+b*b=c*c
[*]----为乘号

欧几里得的证法

在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。 设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。
在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下：
如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS定理） 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。 任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。 任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。 证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形，再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。
其证明如下：
设△ABC为一直角三角形，其直角为CAB。 其边为BC、AB、和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。 画出过点A之BD、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。 分别连接CF、AD，形成两个三角形BCF、BDA。 ∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A 和 G 都是线性对应的，同理可证B、A和H。 ∠CBD和∠FBA皆为直角，所以∠ABD等于∠FBC。 因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC，所以△ABD 必须相等于△FBC。 因为 A 与 K 和 L是线性对应的，所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD。 因为C、A和G有共同线性，所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC。 因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB²。 同理可证，四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC²。 把这两个结果相加， AB²+ AC² = BD×BK + KL×KC 由于BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由于CBDE是个正方形，因此AB² + AC² = C²。 此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的

Answer 2

利用相似三角形证明
许
勾股定理
证明
式
都
基于相似三角形
两边
比例

设ABC
直角三角形, 直角于角C（看附图）.
点C画
三角形
高
并
高与AB
交叉点称
H
新三角形ACH
原本
三角形ABC相似
两
三角形
都
直角（
由于
高
定义）
两
三角形都
A
共同角
由
知第三
角都
相等
同
道理
三角形CBH
三角形ABC
相似
些相似关系衍
比率关系：
BC=a,AC=b,AB=c
所
a/c=HB/a and b/c=AH/b
写
a*a=c*HB and b*b=C*AH
综合
两
程式
我
a*a+b*b=c*HB+C*AH=C*(HB+AH)=c*c
换句
说:a*a+b*b=c*c
[*]----
乘号
欧几
证

欧几
《几何原本》
书
提
勾股定理由
证明
立
设△ABC
直角三角形
其
A
直角
A点划
直线至
边
使其垂直于
边
形
线
边
形
二
其面积
别与其余两
形相等

式
证明
我
需要四
辅助定理
：
两
三角形
两组
应边
两组边所夹
角相等
则两三角形全等
（SAS定理） 三角形面积
任
同底同高
平行四边形面积
半
任意
形
面积等于其二边
乘积
任意
四
形
面积等于其二边
乘积（据辅助定理3）
证明
概念
：
两
形转换
两
同等面积
平行四边形
再旋转并转换
两
同等面积
形

其证明
：
设△ABC
直角三角形
其直角
CAB
其边
BC、AB、
CA
依序绘
四
形CBDE、BAGF
ACIH
画
点A
BD、CE
平行线
线
别与BC
DE直角相交于K、L

别连接CF、AD
形
两
三角形BCF、BDA
∠CAB
∠BAG都
直角
C、A
G 都
线性
应
同理
证B、A
H
∠CBD
∠FBA皆
直角
所
∠ABD等于∠FBC

AB
BD
别等于 FB
BC
所
△ABD 必须相等于△FBC

A 与 K
L
线性
应
所
四
形 BDLK 必须二倍面积于△ABD

C、A
G
共同线性
所
形BAGF必须二倍面积于△FBC

四边形 BDLK 必须
相同
面积 BAGF = AB²
同理
证
四边形 CKLE 必须
相同
面积 ACIH = AC²

两
结
相加
AB²+ AC² = BD×BK + KL×KC 由于BD=KL
BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由于CBDE
形
AB² + AC² = C²

证明
于欧几
《几何原本》
书第1.47节所提
图"
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Answer 3

Answer 4

先提醒下，是证明AB的平方加BC的平方=AC的平方,这样才对。
为方便表示，所以用a,b,c的字母形式哦。
画出斜边上的高，由图中给出的两个相似三角形，我们有c/b=b/m和c/a=a/n
即cm=b^和cn=a^相加便得：a^+b^=c(m+n)=c^OK了。图如下所示：

Answer 5

AC=3,BC=4
AB=5