Question

在三角形ABC中，若sinB/2=sinA/2*sinC/2,求证a+c=3b

Answer 1

我帮你吧！

要证a+c=3b,即转化为证sinA+sinC=3sinB.（正弦定理）
sinB/2=sinA/2*sinC/2
∴cos(A/2+C/2)=sinA/2*sinC/2
cosA/2*cosC/2-sinA/2*sinC/2=sinA/2*sinC/2
∴cosA/2*cosC/2=2sinA/2*sinC/2......①

由sinA+sinC
=2sin(A+C)/2*cos(A-C)/2
=2cosB/2*cos(A-C)/2
=2cosB/2*(cosA/2*cosC/2+sinA/2*sinC/2)把①带入
=2cosB/2*3sinA/2sinC/2 ....把sinB/2=sinA/2*sinC/2带入
=6cosB/2*sinB/2
=3sinB
即a+c=3b得证。