Question

已知椭圆x^2/3+y^2/2=1的左右焦点分别为F1,F2,过点F1的直线交托源于BD两点,过点F2的直线交托源于AC两点,且

AC垂直于BD,垂足为P
1)设点P坐标为(x0,y0),求证:x0^2/3+y0^2/2小于1;
2)求四边形ABCD面积的最小值.
请高手赐教~不把详细解题过程打出来也不要紧,大概是用什么思路写这道题,从哪入手请讲清楚些~谢谢
加急~~~

Answer 1

(1) 椭圆x²/3+y²/2=1--->F1(-1,0),F2(1,0)
AC⊥BD于P即∠F1PF2=90°--->P点轨迹为单位圆x²+y²=1
--->Xo²/3+Yo²/2＜Xo²+Yo²=1

(2) ∵P在椭圆内，∴原题应该是求四边形ACBD面积S的最小值
设AB与x正方向所成角为θ，则CD与x正方向所成角为θ+π/2
--->AB参数方程：{x=tcosθ-1,y=tsinθ}
CD参数方程：{x=1-tsinθ,y=tcosθ}
AB与椭圆方程联立：2(tcosθ-1)²+3(tsinθ)²=6
--->(3-cos²θ)t²-4tcosθ-4=0
--->t1+t2=4cosθ/(3-cos²θ)，t1t2=-4/(3-cos²θ)
--->(t1-t2)²=(t1+t2)²-4t1t2=48/(3-cos²θ)²
--->|AB|=|t1-t2|=4√3/(3-cos²θ)=8√3/(5-cos2θ)
同理：|CD|=4√3/(3-sin²θ)=8√3/(5+cos2θ)
--->S=(1/2)|AB||CD|=96/(25-cos²2θ)≥96/(25-1)=4
--->θ=0或π/2即AB或CD垂直于x轴时，ABCD面积最小为4