Question

已知椭圆x^2/3+y2/2=1的左右焦点分别为f1，f2。过f1的直线交椭圆于B，D两点，过f2

已知椭圆x^2/3+y2/2=1的左右焦点分别为f1，f2。过f1的直线交椭圆于B，D两点，过f2的直线交椭圆于A,C两点，且AC垂直BD，垂足为P，
（1）设P的坐标为（x0，y0），证明x0^2/3+y0^2/2<1
（2）求四边形ABCD的最小面积

Answer 1

解：椭圆的：a = √3 b=√2 c=1
即F1（-1,0） F2（1,0）
设BD直线方程：y=k（x+1） 则AC的直线方程就是：y=-1/k（x-1）
则P（ (1-k^2)/(1+k^2)，2k/(1+k^2)）
即：x0= (1-k^2)/(1+k^2） y0= 2k/(1+k^2)
把x0，y0代入x0^2/3+y0^2/2得
x0^2/3+y0^2/2 = [1/3(1-k^2)^2+1/2(4k^2)] /(1+k^2)^2
分之 - 分母 = 1/3(1-k^2)^2+1/2(4k^2)]- (1+k^2)^2
= 1/3+1/3k^4-2/3k^2+2k^2-1-k^4-2k^2
= - 2/3k^4-2/3k^2-2/3 < 0
所以：分之< 分母
即：x0^2/3+y0^2/2<1
即证！
（2）四边形ABCD的面积 = 1/2|AC|*|BD|
当P点与F1 或F2 重合时，面积最小，此时：S（ABCD）min = 1/2* 2a * 4/√3 = 4

Answer 2

（Ⅰ）椭圆的半焦距c＝
3−2
＝1，
由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，故x02+y02=1，
所以，

x
2
0

3
+

y
2
0

2
≤

x
2
0

2
+

y
2
0

2
＝
1
2
＜1．
（Ⅱ）（ⅰ）当BD的斜率k存在且k≠0时，BD的方程为y=k（x+1），
代入椭圆方程
x2
3
+
y2
2
＝1，并化简得（3k2+2）x2+6k2x+3k2-6=0．
设B（x1，y1），D（x2，y2），则x1+x2＝−
6k2
3k2+2
，x1x2＝
3k2−6
3k2+2

|BD|=
1+k2
•|x1−x2|＝
(1+k2)•[(x1+x2)2−4x1x2]
＝
4
3
(k2+1)

3k2+2
；
因为AC与BC相交于点P，且AC的斜率为−
1
k
，
所以，|AC|=
4
3
(
1
k2
+1)

3×
1
k2
+2

＝
4
3
(k2+1)

2k2+3
．
四边形ABCD的面积S＝
1
2
•|BD||AC|=
24(k2+1)2
(3k2+2)(2k2+3)
≥
24(k2+1)2
[
(3k2+2)+(2k2+3)
2
]2

＝
96
25
．
当k2=1时，上式取等号．
（ⅱ）当BD的斜率k=0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S=4．
综上，四边形ABCD的面积的最小值为
96
25
．