Question

高二数学不等式证明问题

a、b都为正数，且a≠b，用不等号连接，a^5+b^5_______a^4×b+a×b^4

请写明详细原因谢谢

Answer 1

答案是> 过程如下
作差： (a^5+b^5)-(a^4*b+a*b^4)
移项：=(a^5-a^4*b)+(b^5-a*b^5)
提公因式：=a^4(a-b)+b^4(b-a)
=(a^4-b^4)*(a-b)
=(a^2+b^2)(a^2-b^2)*(a-b)
=(a^2+b^2)(a+b)(a-b)*(a-b)
=(a^2+b^2)(a+b)(a-b)^2>0
（a^2+b^2）和(a-b)^2是肯定大于0的，而a和b又都是正数，所以整个(a^2+b^2)(a+b)(a-b)^2就大于0了，所以呢(a^5+b^5)>(a^4*b+a*b^4)了。

Answer 2

>
a^5+b^5-a^4*b-a*b^4=a^4(a-b)+b^4(b-a)=(a^4-b^4)(a-b)
可知无论a>b 还是a<b都有
（a^4-b^4)(a-b)>0
另外也可以由排序不等式证明
正序和>=乱序和

Answer 3

a^5+b^5>=a^4×b+a×b^4
（a^5+b^5）-（a^4×b+a×b^4）
=a^4（a-b）+b^4（b-a）
=（a-b）（a^4-b^4）
=（a-b）（a^2+b^2)(a^2-b^2)
=（a-b）（a^2+b^2)(a+b)(a-b)
=（a-b）^2（a^2+b^2)(a+b)>=0

Answer 4

因为a>0 b>0且a不等于b 所以(a*5+b*5)-(a*4b+b*4a) =(a*5 -a*4b)-(b*4a-b*5)=a*4(a-b)-b*4(a-b) =(a*4-b*4)(a-b) =(a*2-b*2)(a*2+b*2)(a-b) =(a+b) (a-b)(a*2+b*2) (a-b) =(a-b)*2(a*2+b*2)(a+b)>0 由上可知: a*5+b*5>a*4b+b*4a