Question

高二不等式证明

已知a,b 都是正数，X,Y是实数，且a+b=1,求证aX^2+bY^2〉=（aX+bY)^2

Answer 1

因为 a+b=1，所以只要证明 (ax^2+by^2)(a+b)>=(ax+by)^2.
(ax^2+by^2)(a+b)-(ax+by)^2
=(a^2x^2+b^2y^2+abx^2+aby^2)-(a^2x^2+b^2y^2+2abxy)
=ab(x^2+y^2-2xy)
=ab(x-y)^2
由 a,b 均为正数即知上式必非负，所以 (ax^2+by^2)(a+b)>=(ax+by)^2.
从而 ax^2+by^2>=(ax+by)^2 成立。