Question

求解两道高二数学题！

1.已知（a+b+c)(b+c-a)=3bc 且sinA=2sinBcosC.是确定三角形ABC的形状
2.若tanA/tanB=a2/b2,试判断三角形ABC的形状

Answer 1

1.
(a+b+c)(b+c-a)=3bc
[(b+c)+a][(b+c)-a]=3bc
(b+c)^2-a^2=3bc
b^2+2bc+c^2-a^2=3bc
b^2-bc+c^2=a^2
根据余弦定理有a^2=b^2+c^2-2bccosB
b^2-bc+c^2=b^2+c^2-2bccosB
bc=2bccosB
cosB=1/2
B=60度

sinA
=2sinBcosC
=√3cosC
=-√3cos(A+B)
=-√3cos(A+60)
=-√3(cosAcos60-sinAsin60)
=-√3(cosA/2-√3sinA/2)
=-√3cosA/2+3sinA/2
所以
sinA =√3cosA
A=60度
C=180-60-60=60度

等边三角形

2.
根据正弦定理a/sinA=b/sinB
所以tanA/tanB=(sinA)方/(sinB)方
又因为sinA/tanA=cosA
所以2sinAcosA=2sinBcosB
根据倍角公式sin2A=sin2B
所以A=B 或者角A+角B=90度
所以是等腰或直角三角形

Answer 2

已知三角形ABC中，若(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且sinA=2sinBcosC,试判断三角形ABC的形状

(a+b+c)(b+c-a)=3bc
[(b+c)+a][(b+c)-a]=3bc
(b+c)^2-a^2=3bc
b^2+2bc+c^2-a^2=3bc
b^2-bc+c^2=a^2
根据余弦定理有a^2=b^2+c^2-2bccosB
b^2-bc+c^2=b^2+c^2-2bccosB
bc=2bccosB
cosB=1/2
B=60度

sinA
=2sinBcosC
=√3cosC
=-√3cos(A+B)
=-√3cos(A+60)
=-√3(cosAcos60-sinAsin60)
=-√3(cosA/2-√3sinA/2)
=-√3cosA/2+3sinA/2
所以
sinA =√3cosA
A=60度
C=180-60-60=60度

三角形ABC等边三角形

根据正弦定理a/sinA=b/sinB
所以tanA/tanB=(sinA)^2/(sinB)^2
又因为sinA/tanA=cosA
所以2sinAcosA=2sinBcosB
根据倍角公式sin2A=sin2B
所以A=B 或者角A+角B=90度
所以是等腰或直角三角形

Answer 3

(1):解
由x^2-x+1
=>(x-1/2)^2+(3/4)一定≥3/4，故得两方程
3x^2+px-6<6*(x^2-x+1)
3x^2+px-6>-9*(x^2-x+1)
即：3x^2-（p+6）x+12>0
12x^2+(p-9)x+3>0
得（p+6）^2-144<0,
(p-9)^2-144<0
即
-12<p+6<12（1）,
-12<p-9<12
（2）
由（1)(2）得-3<p<6.
(2)/1
:解[(x-a)(x-b)]/(x-c)>=0得（x-a)(x-b)≥0且(x-c)≥0
∵a<b
∴x≤a,x≥b，x≥c
∴a=1，b=3,c=-2
2方程为（x-1)(x-3)(x+2)<0
由1的（x-1)(x-3）>0
故（负无穷，1）并（3，正无穷大).
∴(x+2)<0
故x<-2
x∈（负无穷，-2）并（3，正无穷大).

Answer 4

1.解:设定点为(-3,0)和(3,0)，点M(x，y)
则;(x+3)^2+
y²+(x-3)^2+
y²=26
整理得:x²+y²=4
2.解:设点M(x，y)，过原点的直线为y=kx。
把圆化为标准式:(x-3)^2+
y²=4.可知圆心(3,0)，半径为2;
把直线方程代入圆方程得:(k^2+1)x^2-6x+5=0，△≥0，即k^2≤4/5。
根据韦达定理:x1+x2=6/(k^2+1),则y1+y2=6k/(k^2+1)
因为M为AB中点,所以x=3/(k^2+1),
y=3k/(k^2+1)
消去k得到:x²+y²-3x=0(5/3≤x≤3)