Question

如何证明1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2 成立

Answer 1

1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
这个会不会，求原式要用到的。

(1+1)^4=1^4+4×1^3+6×1^2+4×1^1+1
(2+1)^4=2^4+4×2^3+6×2^2+4×2^1+1
(3+1)^4=3^4+4×3^3+6×3^2+4×3^1+1
……
(n+1)^4=n^4+4×n^3+6×n^2+4×n^1+1
上式相加，左右两边的2^4,3^4,4^4,……n^4可以消去
(n+1)^4=1^4+4×(1^3+2^3+3^3+……+n^3)+6×(1^2+2^2+3^2+……+n^2)+4×(1+2+3+……+n)+n

设A=1^3+2^3+3^3+……+n^3
(n+1)^4=n^4+4×n^3+6×n^2+4×n^1+1=1+4A+6×n(n+1)(2n+1)/6+4×n(n+1)/2+n
化简得A=[n(n+1)/2]^2

求1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6方法是一样的，把(n+1)^3展开相加。

Answer 2

数学归纳法。
当n=1时，左边=1，右边=1，该式成立。
如果当n=k时该式成立，即1^3+2^3+...+k^3=[k(k+1)/2]^2，
那么当n=k+1时，
1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3
=[k(k+1)/2]^2+(k+1)^3
=...
=[(k+1)(k+2)/2]^2，也成立。
因此，对所有自然数n，该等式都成立。