Question

数学证明题:1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2.求详细过程.

Answer 1

1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2
证明：
利用立方差公式：
(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]
=(2n^2+2n+1)(2n+1)
=4n^3+6n^2+4n+1

2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1
......
(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1

各式相加有
(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n

4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n
=[n(n+1)]^2

1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)]^2/4

Answer 2

可以用数学归纳法证明.
n=1时，左边=1，右边=1，等式成立.
假设n=k时成立，即1³+2³+...+k³=[k(k+1)]²/4.
1³+2³+...+k³+(k+1)³=[k(k+1)]²/4+(k+1)³
=(k+1)²[k²/4+4(k+1)
=(k+1)²(k+2)²/4
=右边.

也可以利用(n+1)^4-n^4=4n³+6n²+4n+1通过累加法证明.

Answer 3

当n=1时，左边=1³=1，右边=1²（1+1）²/4=1，左边=右边，所以等式成立；
假设当n=k时，等式成立即1³+2³+3³+…+k³=k²(k+1)²/4；
当n=k+1时，左边=1³+2³+3³+…+k³+（k+1)³=k²(k+1)²/4+（k+1)³=（k+1)²[k²+4（k+1)]/4=（k+1)²（k+2)²/4=（k+1)²[(k+1)+1]²/4，右边=（k+1)²[(k+1)+1]²/4，所以当n=k+1时，等式成立；
所以综上所述，等式成立。