Question

已知圆C：X＾2＋Y＾2－2X＋4Y－4＝0，是否存在斜率为1的直线L，使以L被圆C所截得的弦长A

已知圆C：X＾2＋Y＾2－2X＋4Y－4＝0，是否存在斜率为1的直线L，使以L被圆C所截得的弦长AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直线L的方程：若不存在，说明理由

Answer 1

解：⊙C：x²+y²-2x+4y-4=(x-1)²/3²+(y+2)²/3²=1。

也就是说⊙C的圆心C的坐标为：C(1,-2)，而⊙C的半径r=3。

假设存在这么一条直线L：y=x+b交⊙C于A、B，AB为直径的圆过原点，那么直线L的垂线y=-x与L的交点就是所求圆的圆心D。

而若要满足这个条件，D就是AB的中点，在⊙D中：OD=DA=DB=R。

把直线L代入⊙C：x²+y²-2x+4y-4=x²+(x+b)²-2x+4(x+b)-4=2x²+(2b+2)x+4b-4=0。

根据韦达定理：x1·x2=2b-2；D点的横坐标x=x1+x2=-b-1，y=y1+y2=(x1+b)+(x2+b)=x1+x2+2b=b-1。

AB²=(x1-x2)²+(y1-y2)²=(x1+x2)²-4x1·x2+(y1+y2)²-4y1·y2=(b+1)²-8b-8+(b-1)²-4[x1·x2+b(x1+x2)+b²]=b²+2b+1-8b-8+b²-2b+1-4b+8=2b²-12b+10。

OD²=(b+1)²+(b-1)²=2b²+2

∵AB=2OD，∴AB²=4OD²。

也就是说2b²-12b+10=8b²+8，解之：b=(-3±2√3)/3。

即L的方程为y=x-1-(2√3)/3或y=x+(2√3)/3-1。

Answer 2

设L方程为：y=x+t，与圆C方程联立： --->x^+(x+t)^-2x+4(x+t)-4=0--->2x^+(2t+2)x+(t^+4t-4)=0 --->xA+xB=-(t+1), xAxB=(t^+4t-4)/2 --->yAyB=(xA+t)(xB+t)=xAxB+t(xA+xB)+t^ AB是直径--->OA⊥OB--->k(OA)k(OB)=(yA/xA)(yB/xB)=-1--->yAyB+xAxB=0 --->2xAxB+t(xA+xB)+t^=0 --->(t^+4t-4)-t(t+1)+t^=t^+3t-4=(t-1)(t+4)=0--->t=1或t=-4 即：存在这样的直线L:y=x+1或y=x-4

Answer 3

假设存在
设直线L为Y=X+A
代入圆C消去Y得2X^2+(2A+2)X+A^2+4A-4=0
故（X1+X2）/2 =-（A+1）/2 （Y1+Y2）=（A-1）/2
弦长为根号(18-2A^2-12A)
所以（A+1）^2/4+（A-1）^2/4 =(18-2A^2-12A)/4
解得A1=4 A2=-1
因此存在这样的直线
Y=X-1 x+4
方法就是假设存在
然后根据弦的中点到原点的距离=弦长的一半
列式解答求出A
节下来检验A是否满足题仪即L要与圆C相交求出A的范围

设L方程为：y=x+t，与圆C方程联立：
--->x^+(x+t)^-2x+4(x+t)-4=0--->2x^+(2t+2)x+(t^+4t-4)=0
--->xA+xB=-(t+1), xAxB=(t^+4t-4)/2
--->yAyB=(xA+t)(xB+t)=xAxB+t(xA+xB)+t^

AB是直径--->OA⊥OB--->k(OA)k(OB)=(yA/xA)(yB/xB)=-1--->yAyB+xAxB=0
--->2xAxB+t(xA+xB)+t^=0
--->(t^+4t-4)-t(t+1)+t^=t^+3t-4=(t-1)(t+4)=0--->t=1或t=-4

即：存在这样的直线L:y=x+1或y=x-4