Question

追加50分！！！！一道高一数学题，不求解只是看不懂答案

设a∈R，n∈N且n≥2,如果f(x)=lg[1+2^x+3^x+...+(n-1)^x+an^x/n]的定义域为(-∞，1），求a的取值范围。

答案：

有题意得，[1+2^x+3^x+...+(n-1)^x+an^x/n]〉0的解集为(-∞，1），

即a〉-[(1/n)^x+(2/n)^x+...+(n-1/n)^x]在 x∈(-∞，1）上恒成立
（这一步是怎么化的啊？？？）

令g(x)=-[(1/n)^x+(2/n)^x+...+(n-1/n)^x],∵y=(i/x)^x(i=1,2,3,...,n-1)是减函数
（它怎么知道是减函数啊？？？）

又x＜1，∴(i/n)^x＞(i/n)^1=i/n
∴g(x)最大值=g(1))=-[(1/n)+(2/n)+...+(n-1/n)]=(1-n)/2
（怎么算出来等于1-n/2的？？）

得a的取值范围为a〉(1-n)/2(n≥2） 当n=2时，（1-n)取最大值，故a>-1/2

请高人指点。。。。小弟不胜感激。。。。追加50分！！！

Answer 1

即a〉-[(1/n)^x+(2/n)^x+...+(n-1/n)^x]在 x∈(-∞，1）上恒成立
（这一步是怎么化的啊？？？）
移项，两边同时除以n^x/n>0,
令g(x)=-[(1/n)^x+(2/n)^x+...+(n-1/n)^x],∵y=(i/x)^x(i=1,2,3,...,n-1)是减函数
（它怎么知道是减函数啊？？？）
0<(n-1/n)<1,],∵y=(i/n)^x(i=1,2,3,...,n-1)是减函数,
∴g(x)最大值=g(1))=-[(1/n)+(2/n)+...+(n-1/n)]=(1-n)/2
（怎么算出来等于1-n/2的？？）
[(1/n)+(2/n)+...+(n-1/n)]=[1+2+3+……+(n-1)]\n=(n-1)\2
这是10年前的老难题了，别搞这个了。

Answer 2

你拿什么来追加50分

Answer 3

即a〉-[(1/n)^x+(2/n)^x+...+(n-1/n)^x]在 x∈(-∞，1）上恒成立
（这一步是怎么化的啊？？？）
移项，两边同时除以n^x/n>0,
令g(x)=-[(1/n)^x+(2/n)^x+...+(n-1/n)^x],∵y=(i/x)^x(i=1,2,3,...,n-1)是减函数
（它怎么知道是减函数啊？？？）
0<(n-1/n)<1,],∵y=(i/n)^x(i=1,2,3,...,n-1)是减函数,
∴g(x)最大值=g(1))=-[(1/n)+(2/n)+...+(n-1/n)]=(1-n)/2
（怎么算出来等于1-n/2的？？）
[(1/n)+(2/n)+...+(n-1/n)]=[1+2+3+……+(n-1)]\n=(n-1)\2

Answer 4

左边和右边同时除以n^(x-1)
这样是因为分子的幂都是x
这样上下同阶就能把放在括号里了
y=(i/n)^x
是这样的~
因为i<n所以i/n<1
小于1的数做底数的指数函数是减函数

下一步
又x＜1，∴(i/n)^x＞(i/n)^1=i/n
∴g(x)最大值=g(1))=-[(1/n)+(2/n)+...+(n-1/n)]=(1-n)/2
（怎么算出来等于1-n/2的？？）
这个对吧?
你看右边的分母相同,所以分子可以直接相加减

用等差数列求和公式:首项加末项乘以项数除以二
就得到(1+n-1)(n-1)/2n
化简就得n-1/2