Question

初一数学轴对称

Answer 1

在几何证题、解题时，如果是轴对称图形，则经常要添设对称轴以便充分利用轴对称图形的性质．譬如，等腰三角形经常添设顶角平分线；矩形和等腰梯形问题经常添设对边中点连线和两底中点连线；正方形，菱形问题经常添设对角线等等． 　　另外，如果遇到的图形不是轴对称图形，则常选择某直线为对称轴，补添为轴对称图形，或将轴一侧的图形通过翻折反射到另一侧，以实现条件的相对集中． 应用试题　　例1已知直线 外有一定点 ，试在 上求两点 ， ，使 （定长），且 最短． 　　分析：当把 点沿 方向平移至 （如图1），使 ，那么问题就转化为在 上求一点 ，使 为最短． 　　作法：过 作 ，使 ，作 关于 的对称点 ，连结 交 于B．在 上作 ，点 ， 为所求之两点． 　　证：在 上另任取 ，连PA，PA'，PB' ，CB'，A'P'，B'P'，则PA'=P'A'，P'B'=P'B' ，又 PA'B'C'为平行四边形，∴CB'=PA' ．∵C'B +B'P > CP'， 　　∴ PA'+ P'B'>PA+PB． 　　例2如图2，△ABC中， 为∠A外角平分线上一点，求证：PB+PC>AB+AC． 　　分析：由于角平分线是角的对称轴，作AC关于AP的轴对称图形AD，连结DP，CP，则DP=CP，BD=AB+AC．这样，把 AB+AC，AC，PB，PC集中到△BDP中，从而由PB+PD>BD，可得PB+PC>AB+AC． 　　证：（略）． 　　点评：通过变为轴对称图形后，起到相对集中条件的作用，又有将折线化直的作用（如AB+AC化直为BD）． 　　例3等腰梯形的对角线互相垂直，且它的中位线等于 ，求此梯形的高． 　　解：如图3．设等腰梯形AD∥BC，AB=DC，对角线AC与BD相交于O，且AC⊥BD，中位线EF=m.过AD，BC的中点M，N作直线，由等腰梯形ABCD关于直线MN成轴对称图形，∴O点在MN上，且OA=OD，OB=OC，AM=DM，BN=CN．又 AC⊥BD，故△AOD和△BOC均为等腰直角三角形．2OM=AD，2ON=BC．∵AD+BC=2EF=2m，∴2OM+2ON=2m． 　　∴OM+ON= ，所以梯形高MN=m． 确定方向应用　　例1　如图1，四边形ABCD是长方形的弹子球台面，有黑白两球分别位于E、F两点的位置，试问，怎样撞击黑球E，才能使黑球先碰撞台边DC，反弹后再击中白球F？ 　　解：作E点关于直线CD的对称点E′，连接FE′，与CD的交点P即为撞击点，点P即为所求． 　　例2　如图2，甲车从A处沿公路L向右行驶，乙车从B处出发，乙车行驶的速度与甲车行驶的速度相同，乙车要在最短的时间追上甲车，请问乙车行驶的方向？ 　　解：作AB的垂直平分线EF，交直线L于点C，乙车沿着BC方向行驶即可． 确定点的位置找最小值　　例3　如图3，AB∥CD，AC⊥CD，在AC上找一点E,使得BE+DE最小． 　　解：作点B关于AC的对称点B′,连接DB′，交AC于点E，点E就是要找的点． 　　例4　如图4，点A是总邮局，想在公路L1上建一分局D，在公路L2上建一分局E，使AD+DE+EA的和最小． 　　解：作点A关于L1和L2的对称点B、C．连接BC，交L1于点D，交L2于点E．点D、E就是要找的点． 　　例5 要在河岸所在直线l上修一水泵站，分别向河岸同侧的A、B两村送水，请你设计水泵站应修在何处，所用管道最短？ 例5
分析：设水泵站修在C点，此题的实质是求折线AC+BC的最短长度，可作出A点关于直线l的对称点A′，如图1，根据对称性，AC+BC=A′C+BC，所以连结BA′交直线l于点C，点C便是水泵站的位置，因为此时折线长AC+CB化成线段A′B的长，根据两点之间线段最短的道理便可确定点C是水泵的位置． 与其他学科结合　　唐朝某地建造了一座十佛寺，竣工时，太守在庙门右边写了一副上联“万瓦千砖百匠造成十佛寺”，望有人对出下联，且表达恰如其分，你能对出下联来吗? 　　对联中有数字万、千、百、十，几个月过去了，无人能对，有个文人李生路过，感觉庙前没有下联不像话，十分感慨．一连几天在庙前苦思冥想，未能对出下联，有次在庙前散步，望见一条大船由远而来，船夫正使劲的摇橹，这时李生突发灵感，对出了下联———“一舟二橹四人摇过八仙桥”． 　　太守再次路过此庙时，看到下联，连连称赞“妙妙妙”．这副对联数字对数字，事物对事物，对称美如此的和谐．可见，对称美在文学方面也有生动深刻的体现． 　　生活中的轴对称无处不在,只要你善于观察,将会发现其间所蕴涵的丰富的文化价值和对称美给人带来的回味无穷的享受． 对称之后解方程　　求有关最小值问题，经常利用对称的思想转移点的位置，改变思维角度，再利用（直线）一次函数的解析式求得最小值点的坐标，真正体现出“数形结合”的数学思想．
　　例1　已知两点A（0，2），B（4，1），点P是x轴上的一点，且PA+PB的值最小，求点P的坐标． 　　分析：如图1，在坐标系中先标出点A、B的位置，在x轴上要确定一点P，使PA+PB最小，先作出点A关于x轴的对称点A′，连结A′B，与x轴交于点P，根据“两点之间，线段最短”的道理，点P就是要求的点（如果另取一点P′，则P′A+P′B>PA+PB，这些都应该考虑到）． 　　例2　某公路的同一侧有A、B、C三个村庄，要在公路边建一货站D，向A、B、C三个村庄送农用物资，路线是D→A→B→C→D或D→C→B→A→D．将A、B、C三点画在平面直角坐标系中，如图2，x轴为公路，货站要建在公路边上，且要保证送货路程最短，请画出点D的位置，并求出点D的坐标． 　　分析：假设点D已确定，送货路程之和为DA+AB+BC+CD，因为点A、B、C的位置已确定，所以AB+BC是固定的，只要DA+CD最小就可以保证送货路程最短．利用对称思想，可取点A关于x轴的对称点A′，连接A′C，交x轴于点D，点D即为所求．

Answer 2

能沿一条直线对折完全重合的

Answer 3

问题呢