数学问题 六圆
如图，六个小圆都与大圆相切且各与相邻的小圆相切（小圆大小没有限制），求证相对小圆圆心之间的连线相交于一点。条件大概就这些，我也不太记得了，百度上也找不到这个问题。求大神相助。
请给出详细的证明过程，先证明后采纳谢谢！满意有高分 展开
这道题的正确结果应该是相对小圆与大圆的切点连线三线共点.
圆心的结论是不成立的, 西班牙后卫耶罗 的草图虽然有误差, 但是不成立的迹象已经足够明显了.
如果仍然觉得证据不足, 可以用这里证明的结论做一个精确的图来验证.
证明使用早先热心网友提到的结论 (证明参考原链接, 此处省略):
圆内接六边形相对顶点连线三线共点当且仅当AB·CD·EF = BC·DE·FA.
另外需要一些计算 (其实是个人几何能力退化, 没想出纯几何方法),
好在得益于对称性, 计算量相当小.
证明: 设⊙O半径为R, 各小圆半径依次为a, b, c, d, e, f (与切点字母相对应).
我们计算相邻两圆的半径关系, 以⊙P和⊙Q为例.
设AB在⊙O中所对的圆周角为θ (取非钝角的那个),
有圆心角∠AOB = 2θ, AB = 2Rsin(θ) (正弦定理).
∵⊙O, ⊙P半径分别为R, a, 且二者内切于A,
∴OP = R-a,
同理OQ = R-b.
又∵⊙P, ⊙Q半径分别为a, b, 且二者外切,
∴PQ = a+b,
∴(a+b)² = PQ² = OP²+OQ²-2OP·OQcos(∠POQ) = (R-a)²+(R-b)²-2(R-a)(R-b)cos(2θ) (余弦定理),
展开整理得2ab = (R-a)(R-b)(1-cos(2θ)) = 2(R-a)(R-b)sin²(θ).
∴sin(θ) = √(ab/((R-a)(R-b))), AB = 2Rsin(θ) = 2R√(ab/((R-a)(R-b))).
同理可得CD = 2R√(cd/((R-c)(R-d))), EF = 2R√(ef/((R-e)(R-f))).
故AB·CD·EF = 8R³√(abcdef/((R-a)(R-b)(R-c)(R-d)(R-e)(R-f))).
而易见BC·DE·FA也是同一结果, 即成立AB·CD·EF = BC·DE·FA.
因此AD, BE, CF三线共点, 证毕.
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圆内接六边形ABCDEF三条对角线相交于同一点的充要条件是(AB/BC)*(CD/DE)*(EF/GH)=1
你画的这个图满足这个条件
大圆圆心，小圆圆心，切点是共线的
做六个小圆切点的切线，根据切线长定理，环内各切线长均相等，交于同一点，且同一个圆的两条切线的角分线必过各小圆圆心且六个角平分线必交于同一点。说白了，各个小圆间的切点肯定共圆，圆心就是那个公共的点。
想了很久，也在等其他人的回答，题目很有意思，大家探讨我觉得也很有意义，希望我回复的那两位不要觉得我有攻击性，我只是在探讨问题……
我画了一个草图，一个比较极限的情况，小圆O1 O2 O3 O4差不多一样大（貌似相切但还差一点点点），O5 O6小一点。如下图。因此我怀疑这个结论是不对的……当然作图肯定有误差，我也不是特别确定
我似乎知道少的条件是什么。
西班牙后卫耶罗同学已经画了一个反例证明你少条件。
我个人认为你的题可能是这样的。
你少的条件是，所有的6个小圆应该公切于两个圆
一个你已经画了，就是外面的大圆。
另一个是里面的圆，你还没有画。
而且结论是所有的6个小圆的圆心也是共圆的。
而不是什么圆心连线共点。
证明的方法是反演变换。
plus：不一定是6个圆，几个都行。只要最后像“滚珠轴承”，当然相邻珠要相切
