Question

已知定义域为R的函数f(x),满足f(1+x)+f(1-x)=0.当x∈(-∞，1

Answer 1

本题条件有遗漏

本题注意以下几个要点：

• 由f(1+x)+f(1-x)=0易知f(x)的图象关于点(1，0)对称。（令x=0，则f(1)=0）

• 由x1x2-(x1+x2)+1=(x1-1)(x2-1)<0，表明x1、x2分布在点(1，0)两侧

• 由x1+x2<2有(x1+x2)/2<1，表明x1、x2分布在点(1，0)两侧且不关于(1，0)对称

• 如果f(x)在（-∞，1]上单调，则f(x)在[1，+∞）上也单调，显然f(x1)、f(x2)都不为0且一正一负，即f(x1)*f(x2)<0恒成立

• 如果f(x)在（-∞，1]上不单调，则f(x)在[1，+∞）上也不单调，显然f(x1)、f(x2)可能都不为0，也可能f(x1)或f(x2)为0（注意，f(x1)、f(x2)不可能同时为0），因此f(x1)*f(x2)可能为0