Question

在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形且PA⊥面ABCD

在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形且PA⊥面ABCD ①求证PC⊥BD ②过直线BD垂直于直线PC的平面交于点E，如果三棱锥E—BCD的体积到最大值，求此时四棱锥P—ABCD的高

Answer 1

①连AC交BD于O

∵PA⊥平面ABCD

∴PA⊥BD

∵ABCD是正方形

∴BD⊥AC

∵PA∩AC=平面PAC

∴BD⊥平面PAC

∵PC∈平面PAC

∴BD⊥PC

②

作EF⊥AC于F，连OE

∵PC⊥平面BDE

∴PC⊥OE

∴当PA的长度变化时，点E的轨迹是以OC为直径的半圆

∴当EO=EC时EF有最大值

此时PA=AC=√2·AB=√2

∵PA就是四棱锥P-ABCD的高

∴当四棱锥的高为√2时，三棱锥E-BCD有最大值