Question

已知不等式x∧2+(1-m)x+1>0对任意的x∈(-1,+∞)都成立,求实数m的取值范围

Answer 1

因为不等式的图像开口向上，所以当b^2-4ac<0时，x^2+(1-m)x+1>0对任意x∈R恒成立。
接下来只要考虑b^2-4ac=0和b^2-4ac>0的情况。
1、当b^2-4ac=0，即(1-m)^2-4=0，解得m=-1或m=3，m=3时不符合题意，故舍去，只取m=-1。
2、当b^2-4ac>0，即(1-m)^2-4>0，解得m<-1或m>3。此时不等式的图像与X轴有两个交点，分别设为X1、X2（X1>X2)，且X1*X2=1，X1+X2=m-1。由X1*X2=1可知，X1<0，X2<0。
要使不等式x^2+(1-m)x+1>0对任意x∈ （-1，+∞）恒成立，则有
X1=[-b+√(b^2-4ac)]/(2a)=[m-1+√(m^2-2m-3)]/2≤-1
解不等式[m-1+√(m^2-2m-3)]/2≤-1得m≥-1。
由此可知，m<-1和m>3应舍掉m<-1，取m>3。
综上1、2所述， 可知m的取值范围为：m=-1或m>3。
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