Question

在圆内接四边形ABCD中,∠A=60°,∠B=90°,AB=2,CD=1,求BC和AD

Answer 1

解：作AD、BC的延长线交于E

∵∠BAE=60°，∠ABE=90°

∴∠E=30°

∵AB=2

∴AE=2AB=4，BE=√3AB=2√3

∵四边形ABCD是圆内接四边形

∴∠ADC=180°-∠ABC=90°，即CD⊥AE

∵∠E=30°，CD=1

∴CE=2CD=2，DE=√3CD=√3

∴BC=BE-CE=2√3-2

  AD=AE-CE=4-√3

Answer 2

连接AD，∵∠B=90°，
∴AD是直径﹙90°圆周角所对的弦是直径﹚，
∴∠C=90°﹙直径所对的圆周角=90°﹚，
分别延长AC、BD，它们相交于E点，∴∠E=30°，
∴在直角△DCE中，∵DC=1，∴DE=2，CE=√3，
在直角△BAE中，AB=2，∴AE=4，∴AC=4－√3，
在直角△ADC中，由勾股定理得：AD=2√﹙5－2√3﹚，
由余弦定理得：BC²=AB²＋AC²－2×AB×ACcos60°，
代入解得：BC=√﹙15－6√3﹚。

Answer 3

BC=2，AD*AD=7；
过AB中点E做垂线，因AB=2，故BE=1，又因∠B=90°，CD=1，故过E点的中垂线过C点，故∠D=90°，∠ECD=90°，∠ACE=30°（四边形内角和360°）；又因AE=1，∠AEC=90°，所以AC=2；∠A=60°，AB=AC=2，故三角形ACB为等边三角形，故BC=2。
∠D=90°，BC=2，CD=1，故∠CBD=30°；因BD*BD+CD*CD=BC*BC，故BD*BD=3,；∠B=90°，AB*AB+BD*BD=AD*AD，又因AB=2，BD*BD=3，故AD*AD=7，AD=根号7