Question

已知函数f（x，y）在（0，0）的某个邻域内连续lim（x，y）趋于（0，0）f（x，y）-xy/

已知函数f（x，y）在（0，0）的某个邻域内连续lim（x，y）趋于（0，0）f（x，y）-xy/（x^2+y^2）

Answer 1

由lim    x→0，y→0    f(x，y)-xy    (x2+y2)2 =1知。

因此分母的极限趋于0，故分子的极限必为零，从而有f（0，0）=0；因为极限等于1；故f（x，y）-xy～（x2+y2）2（|x|，|y|充分小时），于是f（x，y）～xy+（x2+y2）2。

因为：f（0，0）=0；所以：f（x，y）-f（0，0）～xy+（x2+y2）2。

可见当y=x且|x|充分小时，f（x，y）-f（0，0）≈x2+4x4＞0；而当y=-x且|x|充分小时，f（x，y）-f（0，0）≈-x2+4x4＜0。故点（0，0）不是f（x，y）的极值点。

函数的近代定义

是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。

Answer 2

直观上, 条件说明f(x,y)在原点和xy很接近.但是原点只是xy的鞍点, 于是原点也不是f(x,y)的极值点.严格写下来是这样:∵lim{(x,y) → (0,0)} (f(x,y)-xy)/(x²+y²)² = 1,∴对ε = 1, 存在δ > 0, 使得当|x| < δ, |y| < δ时, 有0 = 1-ε < (f(x,y)-xy)/(x²+y²)² < 1+ε = 2.即xy < f(x,y) < xy+2(x²+y²)² ①.又由f(x,y)在原点连续, 可得f(0,0) = lim{(x,y) → (0,0)} f(x,y) = 0.考虑点列(1/n,1/n), 易见n → ∞时(1/n,1/n) → (0,0).当n > 1/δ时, 有1/n < δ, 代入①的左端得f(1/n,1/n) > 1/n² > 0.因此在原点的任意邻域内存在使f(x,y)取正值的点.再考虑点列(1/n,-1/n), 易见n → ∞时(1/n,-1/n) → (0,0).当n > 1/δ且n > 3时, 有1/n < δ, 代入①的右端得f(1/n,-1/n) < -1/n²+8/n⁴ = (8-n²)/n⁴ < 0.因此在原点的任意邻域内存在使f(x,y)取负值的点.于是原点不为极值点.