Question

在三角形abc中，角abc的对边分别是abc已知sinc+cosc+√2sinc/2=1

在三角形abc中，角abc的对边分别是abc已知sinc+cosc+√2sinc/2=1 求角c的大小

Answer 1

（1）
sinC+cosC=1-sinC/2，移项得 sinC-sinC/2 = 1-cosC
由二倍角公式得 2sinC/2 cosC/2-sinC/2 = 2(sinC/2)^2
因为sinC/2≠0，所以两边消去sinC/2得 2cosC/2-1 = 2sinC/2
整理得 sinC/2-cosC/2=1/2
根据辅助角公式得sin(C/2-π/4)=√2 /4
再由二倍角公式得cos(C-π/2)=1-2sin(C/2-π/4)^2=3/4
∴sinC=cos(C-π/2)=3/4
(2)
移项、配方得 (a-2)^2+(b-2)^2=0 故a=b=2
由余弦定理 c^2=a^2+b^2-2ab*cosC=4+4-8cosC
又由（1）中 sinC/2-cosC/2=1/2 可知 sinC/2 > cosC/2 >0
所以 cosC=(cosC/2)^2-(sinC/2)^2 < 0，从而 cosC= -√7/4
所以 c^2=8-8cosC=8+2√7=（1+√7)^2
c= 1+√7

追问

还有第二问

a2+b2=6a+4√3b-21求三角形外接半径

前面是ab的平方，后面是求外接圆的半径

Answer 2

sinc+cosc+√2sinc/2=1
2sinc/2cosc/2+√2sinc/2=1-cosc/2
2sinc/2cosc/2+√2sinc/2=2sin^2c/2
√2cosc/2+1=√2sinc/2
(√2/2cosc/2-√2/2sinc/2)=-1/2
cos(c/2+π/4)=-1/2
c/2+π/4=2π/3
c=5π/6